Задание 23 ОГЭ по математике 2027: геометрическая задача на вычисление

В задании 23 мало шагов, поэтому каждый на виду: одна неверно применённая теорема обнуляет решение даже при правильном ответе. Чтобы получить 2 балла:

• Чертёж с обозначениями. Отметьте данные из условия и точки, которые вводите сами. Чертёж — иллюстрация: в комментарии к примеру 1 материалов ФИПИ для предметных комиссий (с. 31) прямо сказано, что качество его построения не оценивается.
• Причина у каждого шага. Пишите, из чего следует равенство: «как накрест лежащие», «как радиус, проведённый в точку касания», «подобны по двум углам». Хватает короткой ссылки. Формулировку учебника дословно переписывать не нужно: решение с утверждением, равносильным теореме Пифагора, получило 2 балла.
• Очевидное из условия не доказывают. Если в «Дано» записан прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, обосновывать это заново не требуется (пример 2, с. 32).
• Теорема Пифагора — для названного треугольника. Укажите, где прямой угол и какая сторона гипотенуза. В упражнении 23.3 подобие было доказано, пропорция верна, но теорема Пифагора записана с ошибкой — 0 баллов.
• Ответ — в конце, числом, у угла — со знаком градуса: «Ответ: 30°». Пропуск знака градуса балл не снижает (упражнение 23.5), но привычка писать единицы помогает не перепутать, что найдено.

Чего нет в справочных материалах КИМ, но регулярно нужно в задании 23. Всё это теоремы школьного курса, и в решении на них достаточно сослаться:

• признаки подобия треугольников — по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам; отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия;
• углы при параллельных прямых и секущей: накрест лежащие равны, односторонние в сумме дают 180° — отсюда прямой угол между биссектрисами углов при боковой стороне трапеции;
• высота прямоугольного треугольника, проведённая из прямого угла, делит его на два треугольника, подобных исходному; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка;
• касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть;
• диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам; биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Формулы площадей, теорема Пифагора и таблица синусов и косинусов в КИМ напечатаны; их выжимка и несколько дополнительных свойств фигур — на странице справочных материалов ОГЭ. Задачи на те же свойства, но в четыре-шесть шагов, — в задании 25.

Демоверсия 2027. «Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5».

1. Углы BAD и ABC — односторонние при параллельных AD и BC и секущей AB, поэтому ∠BAD + ∠ABC = 180°.
2. AF и BF — биссектрисы, значит, ∠BAF + ∠ABF = 12(∠BAD + ∠ABC) = 90°.
3. По сумме углов треугольника ∠AFB = 180° − 90° = 90°: треугольник ABF прямоугольный, AB — гипотенуза.
4. По теореме Пифагора AB = √12² + 5² = √169 = 13.

Ответ: 13. Главный шаг — первый: без ссылки на параллельность оснований прямой угол при F ниоткуда не следует, а «на чертеже видно, что угол прямой» обоснованием не считается.

Демоверсия 2026: «Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 14, DC = 42, AC = 52». Углы BAM и DCM равны как накрест лежащие при AB ∥ DC и секущей AC, углы AMB и CMD — как вертикальные, поэтому треугольники AMB и CMD подобны по двум углам с коэффициентом 1442 = 13. Значит, AM : MC = 1 : 3 и MC = 34 · 52 = 39. Ответ: 39.