Перейти к содержимому

Задание 22 ОГЭ по математике 2027: график с параметром

Задание 22до 2 балловграфик с параметром
Раздел
Функции и начала анализа · часть 2
Максимальный балл
2 балла
Уровень сложности
высокий
Что проверяет
Строить графики функций и использовать их для исследования зависимостей
Раздел кодификатора
5. Функции
Что нужно сделать
Построить график функции — часто кусочной или с выколотой точкой — и найти значения параметра, при которых прямая имеет с графиком заданное число общих точек.
Как записать ответ
график на бланке № 2, решение и значения параметра; без верного графика задание оценивается нулём
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

График с параметром — задание 22 ОГЭ по математике 2027: построить график функции и найти, при каких m прямая y = m (или при каких k прямая y = kx) имеет с ним заданное число общих точек. Функция обычно кусочная, с модулем или с дробью, которая сокращается и оставляет выколотую точку. Это задание высокого уровня сложности, ожидаемый процент выполнения по спецификации — 3–15 %, максимум — 2 балла.

Оценка устроена жёстко: без верного графика ставят 0, даже если значения параметра совпали с ответом. Верный график без верных значений параметра — 1 балл. По тому же правилу тренажёр на этой странице проверяет построение графика и введённые значения параметра.

В демоверсии 2027 года — парабола и прямая с границей кусков в точке x = −2, в демоверсии 2026 года — функция с модулем и дробью, у графика которой одна выколотая точка. Критерии ФИПИ — в карточке ниже и на странице критериев ОГЭ по математике, полные работы с этим заданием — в вариантах ОГЭ по математике.

Как оформить решение на полный балл

Эксперт оценивает прежде всего график: он должен совпадать с графиком функции во всех характерных точках. Писать название линии («парабола», «гипербола») не обязательно, таблица значений допустима, если по ней однозначно читаются нужные точки.

  1. Упростите формулу. Сократите дробь и выпишите значения x, при которых знаменатель равен нулю, — там будут выколотые точки. Модуль раскройте по случаям: |x − c| = x − c при x ≥ c и c − x при x < c. Каждый случай — свой кусок графика.
  2. Найдите характерные точки каждого куска: вершину параболы (абсцисса −b2a), нули, концы промежутков, для гиперболы — несколько точек и асимптоты. В граничной точке посчитайте значения обеих соседних формул: там бывает и непрерывный стык, и скачок.
  3. Постройте график по клеткам. Отметьте начало координат и единицы на обеих осях, подпишите координаты вершин, граничных и выколотых точек. Рисунок без единого числа на осях эксперты считают невыполненным построением.
  4. Выколотая точка — пустой кружок: точка, исключённая после сокращения дроби, и конец куска, который промежутку не принадлежит. Закрашенная точка — конец, который принадлежит.
  5. Найдите значения параметра. Горизонтальную прямую y = m проведите через каждую характерную точку — вершины, концы кусков, выколотые точки — и посчитайте общие точки на этих уровнях и между ними. Прямая y = kx проходит через начало координат: проверьте касание, прохождение через выколотую точку и параллельность одному из кусков.
  6. Ответ. Перечислите все значения: отдельные числа и промежутки, с точным указанием, входят ли концы.

Критерии оценивания

Задание 22

График с параметром

до 2 баллов

Построить график функции — часто кусочной или с выколотой точкой — и найти значения параметра, при которых прямая имеет с графиком заданное число общих точек.

Содержание критерия

макс. 2 балла
2 балла
  • График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
1 балл
  • График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
0 баллов
  • Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Важно
  • Балл за значения параметра ставят только вместе с верно построенным графиком: без графика задание оценивается нулём, даже если значения найдены верно.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

За что снимают баллы

ОшибкаСколько снимут
Неверно найдена вершина параболы или другая характерная точка, неверно построен один из кусков0 баллов, даже если значения параметра для своего рисунка найдены верно (ПК-2026, пример 4: «неверно найдена ордината вершины второй параболы»; упражнение 22.3)
Модуль раскрыт не для всех случаев: например, не рассмотрен случай x + 2 < 00 баллов — график построен неверно (ПК-2026, упражнение 22.4)
Лишний разрыв: там, где куски сходятся в одной точке, нарисован скачок0 баллов (ПК-2026, пример 4: «в точке х = 0 явно видна точка разрыва»)
В таблице значений точка с неверным знаком координаты, способ построения не ясен0 баллов (ПК-2026, упражнение 22.6: (−3; 1) вместо (−3; −1))
На осях нет ни одного числа — построение по сути не выполнено0 баллов, даже если одно значение параметра из двух найдено верно (ПК-2026, упражнение 22.7)
График построен верно, значения параметра не найдены1 балл (ПК-2026, пример 3)
График построен верно, найдены не все значения параметра — два из трёх1 балл: неполный ответ — это «значения параметра найдены неверно» (ПК-2026, упражнение 22.5)
Не снижают: не указано, что линия — парабола или гипербола2 балла: условие этого не требует, снижение за это ФИПИ назвал субъективным расширением критериев (ПК-2025, с. 17–18; ПК-2026, пример 1)
Не снижают: границы промежутков для параметра взяты из таблиц значений, без отдельных вычислений2 балла, если границы считываются однозначно (ПК-2025, с. 18; ПК-2026, пример 1)

Примеры решений с оценкой

Решение на 2 балла
Условие. Постройте график функции y = x|x| − 2x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Решение. При x ≥ 0: y = x2 − 2x — парабола ветвями вверх, вершина (1; −1), через (0; 0), (2; 0), (3; 3). При x < 0: y = −x2 − 2x — парабола ветвями вниз, вершина (−1; 1), через (−2; 0), (−3; −3). В точке x = 0 обе формулы дают 0 — график непрерывен. На рисунке: единицы на осях, подписаны вершины (1; −1), (−1; 1) и нули −2, 0, 2. Прямая y = m: при m < −1 и m ∈ (1; +∞) — одна общая точка; при m = 1 и m = −1 — две (через вершину и ещё одна на другом куске); при −1 < m < 1 — три. Ответ: −1 < m < 1. Оценка: 2 балла. Почему: оба куска построены по верным формулам, вершины и нули на месте, разобраны все положения прямой.
1 балл: потеряно значение параметра
Условие. Постройте график функции y = (x2 + 4)(x − 1)1 − x и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение. При x ≠ 1 дробь сокращается: y = −x2 − 4. График — парабола ветвями вниз с вершиной (0; −4), через (−2; −8) и (2; −8), с выколотой точкой (1; −5). Прямая y = kx касается параболы, когда у уравнения x2 + kx + 4 = 0 один корень: k2 − 16 = 0, k = ±4. Точки касания (−2; −8) и (2; −8) не выколоты. Ответ: k = −4; k = 4. Оценка: 1 балл. Почему: график верный, выколотая точка отмечена, но потеряно k = −5. Прямая y = −5x проходит через выколотую точку (1; −5) и пересекает параболу ещё только в (4; −20) — общая точка одна. Найдены два значения из трёх.
0 баллов: ошибка в вершине параболы
Условие. Постройте график функции y = x2 − 6x + 8 при x ≥ 1 и y = x + 2 при x < 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Решение ученика. Луч y = x + 2 при x < 1 подходит к выколотой точке (1; 3). Парабола при x ≥ 1 начинается в закрашенной точке (1; 3); вершина при x = 3, y = 9 − 18 + 8 = 1, то есть (3; 1). Ровно две общие точки — при m = 1 и m = 3. Ответ: m = 1; m = 3. Оценка: 0 баллов. Почему: 9 − 18 + 8 = −1, вершина — (3; −1). График неверен, поэтому и строка на 1 балл неприменима, хотя m = 3 найдено верно. Верный ответ: m = −1; m = 3.
0 баллов: эскиз без чисел на осях
Условие то же, что в предыдущем примере. Решение ученика. Нарисованы луч и парабола, на осях нет ни одного числа, координаты вершины и точки стыка не подписаны. Записано: «по рисунку ровно две общие точки при m = 3». Ответ: m = 3. Оценка: 0 баллов. Почему: по рисунку нельзя проверить ни одну точку графика — построение по сути не выполнено. Одно верно найденное значение из двух балла не даёт.

Типы задания 22

Функция с модулем и прямая y = m

ПримерПостройте график функции y = x2 − 4|x| + 3. При каких m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки?
При x ≥ 0: y = x2 − 4x + 3, вершина (2; −1), нули 1 и 3. При x < 0: y = x2 + 4x + 3, вершина (−2; −1), нули −1 и −3. График симметричен относительно оси y, в точке x = 0 значение 3. Четыре общие точки — при −1 < m < 3, три — только при m = 3, две — при m = −1 и m ∈ (3; +∞). Ответ: m = 3.

Функция с модулем и прямая y = kx

ПримерПостройте график функции y = 2|x| − 4. При каких k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку?
График — «уголок» с вершиной (0; −4): y = 2x − 4 при x ≥ 0 и y = −2x − 4 при x < 0. Прямые y = kx проходят через начало координат, оно выше вершины. При −2 < k < 2 прямая пересекает обе ветви — две точки. При k = 2 прямая параллельна правой ветви и пересекает только левую; при k ∈ (2; +∞) тоже только левую. Симметрично при k ≤ −2. Ответ: k ≤ −2; k ≥ 2.

Наибольшее число общих точек

ПримерПостройте график функции y = |x2 − 4x|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график с прямой, параллельной оси абсцисс?
Строим параболу y = x2 − 4x (нули 0 и 4, вершина (2; −4)) и отражаем часть ниже оси x вверх: получается «горб» с вершиной (2; 4). При 0 < m < 4 прямая y = m пересекает обе внешние ветви и горб — четыре точки; при m = 4 — три; при m = 0 и m ∈ (4; +∞) — две. Ответ: 4.

Кусочная функция: парабола и гипербола

ПримерПостройте график функции y = x2 − 2x при x ≥ −1 и y = −3x при x < −1. При каких m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки?
Парабола: начало в закрашенной точке (−1; 3), вершина (1; −1), через (0; 0), (2; 0), (3; 3). Гипербола при x < −1 проходит через (−3; 1) и подходит к (−1; 3) — эту точку закрывает парабола; при x → −∞ ветвь прижимается к оси x, не касаясь её. Две точки: при −1 < m ≤ 0 — обе на параболе; при m = 3 — (−1; 3) и (3; 3). При 0 < m < 3 точек три, при m = −1 и m ∈ (3; +∞) — одна. Ответ: −1 < m ≤ 0; m = 3.

Дробь с выколотыми точками и прямая y = m

ПримерПостройте график функции y = x4 − 5x2 + 4(x − 1)(x + 2). При каких m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку?
Числитель: (x2 − 1)(x2 − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). При x ≠ 1 и x ≠ −2 функция равна (x + 1)(x − 2) = x2 − x − 2. Парабола с вершиной (0,5; −2,25) и выколотыми точками (1; −2) и (−2; 4). Одна общая точка: в вершине, m = −2,25, и на уровнях выколотых точек — у прямой y = −2 остаётся точка (0; −2), у прямой y = 4 — точка (3; 4). Ответ: m = −2,25; m = −2; m = 4.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027. Постройте график функции y = x2 + 2x + 1 при x ≥ −2 и y = x + 6 при x < −2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

  1. При x ≥ −2: y = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 — парабола с вершиной (−1; 0). Кусок начинается в закрашенной точке (−2; 1) и проходит через (0; 1) и (1; 4).
  2. При x < −2: y = x + 6 — луч через (−3; 3) и (−4; 2). Он подходит к точке (−2; 4), но она выколота: x = −2 к лучу не относится.
  3. Поднимаем прямую y = m снизу вверх. При m < 0 — одна точка, на луче. При m = 0 — две: (−6; 0) на луче и вершина параболы. При 0 < m ≤ 1 — три: луч и две точки параболы, при m = 1 одна из них — закрашенный конец (−2; 1). При 1 < m < 4 левая точка параболы уходит за x = −2, остаются луч и правая ветвь — две. При m = 4 луч до прямой не достаёт, остаётся одна точка (1; 4); при m > 4 — тоже одна.

Ответ: m = 0; 1 < m < 4. Ловушки здесь — граничные уровни: m = 1 даёт три точки, потому что конец параболы закрашен, а m = 4 — одну, потому что конец луча выколот.

Демоверсия 2026: y = (x2 + 3x) · |x|x + 3, нужно найти m, при которых прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки. Числитель равен x(x + 3)|x|, поэтому при x ≠ −3 функция равна x|x|: y = x2 при x ≥ 0 и y = −x2 при x < 0. Эта линия непрерывна и возрастает, каждое значение она принимает ровно один раз — кроме значения в выколотой точке (−3; −9). Ответ: m = −9. Без выколотой точки график здесь неверен, а ответ найти нельзя.

Типичные ошибки

Модуль раскрыт для одного случая

Выражение под модулем рассматривают и неотрицательным, и отрицательным: каждый знак даёт свою формулу и свой кусок. Если второй случай забыт, на рисунке вместо двух кусков один — в материалах ПК такой график оценён нулём.

Вершина посчитана с ошибкой

Неверная ордината вершины сдвигает кусок, и все уровни m, связанные с вершиной, выходят неверными. Проверка: абсцисса вершины — середина между нулями параболы, ординату пересчитайте подстановкой.

Не отмечена выколотая точка

После сокращения дроби точка, где знаменатель равен нулю, из графика исключается. В демоверсии 2026 года ответ — как раз уровень выколотой точки, m = −9: без пустого кружка его не увидеть.

Стык кусков нарисован неправильно

Подставьте граничное x в обе формулы. Если значения совпали, график непрерывен, и разрыв на рисунке — ошибка построения. Если различаются, один конец закрашен, а другой выколот — и это меняет ответ на граничных уровнях.

Потеряно граничное значение параметра

Отдельно проверяйте уровни, проходящие через концы кусков и выколотые точки, а для y = kx — касание и прямую через выколотую точку. Верный график с неполным ответом даёт 1 балл вместо 2.

Практика: решите задание

Условие из демоверсии ФИПИ и поле построения, как в варианте: куски графика, выколотые точки и значения параметра — без регистрации. График проверяется по эталону при сдаче варианта: построение сохранится в браузере и подставится туда.

Загружаем задание…

График с проверкой по эталону — в вариантах целиком.

Вопросы и ответы

Что нужно сделать в 22 задании ОГЭ по математике?

Построить график функции — кусочной, с модулем или с сокращающейся дробью — и найти значения параметра, при которых прямая y = m или y = kx имеет с графиком заданное число общих точек. График и решение записывают на бланке ответов № 2.

Дадут ли балл за верный график без ответа?

Да, 1 балл: строка критерия «График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены». Поэтому сначала доведите до конца график, а потом переходите к параметру.

Нужно ли писать, что график — парабола или гипербола?

Нет. По материалам ФИПИ для предметных комиссий название линии желательно, но не обязательно, а снижать за его отсутствие — значит расширять критерии.

Как тренажёр на сайте оценивает задание 22?

По тому же правилу, что эксперт на экзамене: неверный график — 0 баллов при любых значениях параметра; верный график с неверными или ненайденными значениями — 1 балл; верный график и верные значения — 2 балла.

Где найти ответы к 22 заданию ОГЭ по математике?

Решение демоверсии 2027 года с ответом разобрано выше, в тренажёре можно построить её график и проверить себя. Ответы к полным вариантам — в разделе вариантов ОГЭ по математике.

Другие задания раздела «Функции и начала анализа»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →