Перейти к содержимому

Задание 17 ОГЭ по математике 2027: четырёхугольники

Задание 17до 1 баллачетырёхугольники
Раздел
Геометрия · часть 1
Максимальный балл
1 балл
Уровень сложности
базовый
Что проверяет
Применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний и площадей
Раздел кодификатора
7. Геометрия
Что нужно сделать
Найти угол, сторону, диагональ, среднюю линию или площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника или трапеции.
Как записать ответ
число в бланк № 1: целое или конечная десятичная дробь; обыкновенную дробь переводят в десятичную, единицы измерения не пишут
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

Задание 17 ОГЭ по математике — задача с рисунком про четырёхугольник: параллелограмм, ромб, прямоугольник или трапецию. Нужно найти угол, сторону, высоту, диагональ, среднюю линию или площадь. Решение короткое, если вспомнить нужное свойство фигуры: противоположные углы параллелограмма равны, диагональ ромба делит его угол пополам, углы трапеции при боковой стороне в сумме дают 180°.

Задание базового уровня, 1 балл, ответ — число, иногда десятичная дробь. Оно засчитывается в геометрию вместе с заданиями 15–19 и 23–25: если по ним набрано меньше двух баллов, ставят «2». В демоверсии 2027 года нужно найти отрезок средней линии трапеции, в демоверсии 2026-го — высоту равнобедренной трапеции. Формат задания в 2027 году прежний.

Формулы площадей и средней линии трапеции есть в справочных материалах ОГЭ. Трапеция встречается и во второй части демоверсии 2027 года — в задании 23 и в задании 25.

Тренажёр задания 17

Десять заданий номера 17: задание демоверсии ФИПИ, задания банка тренажёра и наших вариантов. Ответ проверяется по ключу без регистрации — появятся верный ответ, а у заданий банка ещё и разбор. Кнопка «Ещё 5 таких» у прототипа ниже даёт задания одного типа.

Загружаем задание…

Задание 17 вместе с остальными — в вариантах целиком.

Прототипы задания 17

Углы трапеции, ромба, параллелограмма

ПримерДиагональ AC ромба ABCD образует со стороной AB угол 34°. Найдите больший угол ромба.
Диагональ ромба делит его угол пополам: ∠A = 2 · 34° = 68°. Соседние углы ромба в сумме дают 180°: ∠B = 180° − 68° = 112°. 112° больше 68°, значит, это и есть больший угол. Ответ: 112.

Стороны, высота и средняя линия трапеции

ПримерОснования равнобедренной трапеции равны 7 и 19, боковая сторона равна 10. Найдите высоту трапеции.
Высоты из концов меньшего основания отсекают на большем по 19 − 72 = 6. Высота — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6. h = √102 − 62 = √64 = 8. Ответ: 8.

Площадь ромба, параллелограмма, трапеции

ПримерСтороны параллелограмма равны 8 и 11, один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
Острый угол параллелограмма: 180° − 150° = 30°. Высота к стороне 11 — катет против угла 30° в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 8: h = 8 · sin 30° = 4. S = 11 · 4 = 44. Ответ: 44.

Диагонали четырёхугольника

ПримерДиагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AC = 16, угол AOB равен 60°. Найдите сторону AB.
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: OA = OB = 8. Треугольник AOB равнобедренный с углом 60° при вершине, значит, углы при основании тоже по 60° и он равносторонний. AB = OA = 8. Ответ: 8.

Как выполнять задание

Начните с рисунка: подпишите вершины, отметьте известные величины и то, что следует из вида фигуры, — равные стороны, параллельные стороны, прямые углы.

  • Параллелограмм. Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Ромб — параллелограмм с равными сторонами: его диагонали ещё и перпендикулярны и делят углы пополам. Прямоугольник — параллелограмм с равными диагоналями.
  • Трапеция. Углы при боковой стороне в сумме дают 180°. У равнобедренной трапеции равны углы при основании и диагонали.
  • Высота трапеции. Если углы при большем основании острые (так у равнобедренной трапеции), опустите высоты из концов меньшего основания: трапеция распадётся на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, а высоту найдёте по теореме Пифагора или через синус и тангенс угла при основании.
  • Площадь. Параллелограмм — сторона на высоту к ней, ромб — ещё и половина произведения диагоналей, трапеция — полусумма оснований на высоту.

Ответ записывают числом; десятичную дробь — через запятую, как «4,5» в ключе демоверсии 2027 года.

Формулы к заданию 17

Площади параллелограмма, ромба и трапеции и средняя линия трапеции есть в справочных материалах ОГЭ. Следующих фактов там нет, а в задании 17 они экономят время.

  • Равнобедренная трапеция с большим основанием a и меньшим b: высота из вершины меньшего основания делит большее на отрезки a − b2 и a + b2. Первый — проекция боковой стороны, второй — проекция диагонали.
  • Диагональ и средняя линия трапеции. Диагональ делит среднюю линию на отрезки a2 и b2, их разность — a − b2.
  • Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: накрест лежащие углы при параллельных сторонах равны.
  • Сторона ромба по диагоналям. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами d12 и d22: при диагоналях 10 и 24 сторона равна √52 + 122 = 13.
  • Диагональ квадрата со стороной a равна a√2.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Как оценивается

Проверка по ключу: 1 балл, если ответ полностью совпал с эталоном и записан в форме, указанной в инструкции. Частичных баллов нет, ход решения не проверяют. Обыкновенную дробь переводят в десятичную и пишут через запятую, единицы измерения не пишут.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

Типичные ошибки

Проекция боковой стороны не поделена пополам

Основания равнобедренной трапеции 7 и 19: каждая высота отсекает на большем основании по 19 − 72 = 6, а не 12. С отрезком 12 и боковой стороной 10 прямоугольный треугольник даже не построить: катет не бывает длиннее гипотенузы.

Диагональ параллелограмма принята за биссектрису

Делить угол пополам диагональ обязана только у ромба и квадрата. В параллелограмме с неравными соседними сторонами диагональ делит угол на две неравные части.

Найден не тот угол

Если спрашивают больший угол параллелограмма, а вычислен острый, его дополняют до 180°: при остром угле 41° больший равен 139°.

Площадь — произведение сторон

Параллелограмм со сторонами 8 и 11 имеет площадь 88, только если он прямоугольник. В остальных случаях сторону умножают на высоту к ней: при угле 30° высота к стороне 11 равна 4, площадь — 44.

Ответ записан обыкновенной дробью

Если вышло 92, в бланк пишут 4,5: ответ части 1 — число цифрами, десятичная дробь — через запятую.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027 года. «Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.» На рисунке проведены средняя линия и диагональ из нижнего левого угла в верхний правый, длины не подписаны.

  1. Диагональ делит трапецию на два треугольника. Сторона одного из них — меньшее основание 2, другого — большее основание 9.
  2. Каждый отрезок средней линии соединяет середины двух сторон своего треугольника, значит, это средняя линия треугольника, и она равна половине основания: 22 = 1 и 92 = 4,5.
  3. Проверка: 1 + 4,5 = 5,5 = 2 + 92 — вся средняя линия трапеции.

Ответ: 4,5.

Демоверсия 2026 года. «Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.» Высота из вершины меньшего основания, в которую приходит диагональ, отсекает на большем основании отрезок 2 + 52 = 3,5 — это проекция диагонали. Диагональ, высота и эта проекция образуют прямоугольный треугольник с углом 45°, то есть равнобедренный: высота тоже равна 3,5. Ответ: 3,5.

Вопросы и ответы

Какие свойства четырёхугольников нужны для 17 задания ОГЭ по математике?

Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции, теорема Пифагора и синус, косинус и тангенс острого угла. Формулы площадей и средней линии трапеции выдают в справочных материалах, а свойства диагоналей и углов нужно помнить.

Как решать задачи на параллелограмм в ОГЭ по математике?

Начинают с углов: соседние в сумме дают 180°, противоположные равны. Если проведена биссектриса угла, она отсекает равнобедренный треугольник. Площадь — сторона, умноженная на высоту к ней, или произведение сторон на синус угла между ними.

Каким было 17 задание в демоверсии ОГЭ 2026 года?

Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 5, диагональ образует с основанием угол 45°, нужно найти высоту; ответ 3,5. В 2027 году форма задания та же, ответ — число, меняется сюжет: в демоверсии 2027 года нужен отрезок средней линии трапеции. Обе задачи разобраны выше.

Как найти высоту равнобедренной трапеции по основаниям и боковой стороне?

Высоты из концов меньшего основания отсекают на большем два равных отрезка по a − b2. Высота — катет прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — боковая сторона c: h = √c2 − (a − b2)2.

Другие задания раздела «Геометрия»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →