Перейти к содержимому

Задание 16 ОГЭ по математике 2027: окружность

Задание 16до 1 баллаокружность
Раздел
Геометрия · часть 1
Максимальный балл
1 балл
Уровень сложности
базовый
Что проверяет
Применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний и площадей
Раздел кодификатора
7. Геометрия
Что нужно сделать
Найти угол, радиус, хорду или сторону фигуры, связанной с окружностью: вписанные и центральные углы, вписанная и описанная окружности, касательная.
Как записать ответ
число в бланк № 1: целое или конечная десятичная дробь; обыкновенную дробь переводят в десятичную, единицы измерения не пишут
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

Окружность — тема задания 16 ОГЭ по математике: по чертежу находят угол, радиус, хорду или сторону фигуры, вписанной в окружность или описанной около неё. Уровень базовый, ответ — число, 1 балл; в 2027 году формат не изменился.

Это второе из пяти геометрических заданий части 1. Вместе с 15, 17, 18 и 19 оно приносит баллы по геометрии, а без двух баллов по заданиям 15–19 и 23–25 ставится «2» при любой общей сумме. В открытом банке ФИПИ чаще всего встречается окружность, вписанная в четырёхугольник или описанная около него, затем — радиусы окружностей треугольника и углы вписанного четырёхугольника.

Ниже — тренажёр, пять прототипов с разбором, свойства окружности, которых нет в справочных материалах, и разбор демоверсий 2027 и 2026 годов. Треугольники без окружности — в задании 15, углы и площади четырёхугольников — в задании 17.

Тренажёр задания 16

Десять заданий номера 16: задание демоверсии ФИПИ, задания банка тренажёра и наших вариантов. Ответ проверяется по ключу без регистрации — появятся верный ответ, а у заданий банка ещё и разбор. Кнопка «Ещё 5 таких» у прототипа ниже даёт задания одного типа.

Загружаем задание…

Задание 16 вместе с остальными — в вариантах целиком.

Прототипы задания 16

Вписанные и центральные углы

ПримерAB — диаметр окружности с центром O, точка C лежит на окружности, ∠AOC = 112°. Найдите угол ABC.
Вписанный угол ABC и центральный угол AOC опираются на одну дугу AC. Вписанный угол равен половине центрального: ∠ABC = 112° : 2 = 56°. Проверка через треугольник BOC: ∠BOC = 180° − 112° = 68°, OB = OC, поэтому ∠OBC = (180° − 68°) : 2 = 56°. Ответ: 56.

Углы вписанного четырёхугольника

ПримерЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠ABD = 38°, ∠CAD = 47°. Найдите угол ABC.
Углы CAD и CBD — вписанные и опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = 47°. Диагональ BD делит угол B на две части: ∠ABC = 38° + 47° = 85°. Заодно противоположный угол: ∠ADC = 180° − 85° = 95°. Ответ: 85.

Окружность и четырёхугольник: квадрат, трапеция, описанный четырёхугольник

ПримерОкружность вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 16. Найдите радиус окружности.
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: боковые стороны вместе — 4 + 16 = 20, каждая — 10. Высота из конца меньшего основания отсекает на большем отрезок (16 − 4) : 2 = 6. Высота: √102 − 62 = √64 = 8. Она равна диаметру вписанной окружности, поэтому r = 4. Ответ: 4.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника

ПримерКатеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Прямой угол опирается на диаметр, значит, гипотенуза — диаметр описанной окружности. Гипотенуза: √102 + 242 = √676 = 26. R = 26 : 2 = 13. Для правильного треугольника радиусы берут из справочных материалов: R = a√33, r = a√36. Ответ: 13.

Касательная, хорды, радиусы

ПримерВ окружности радиуса 10 проведена хорда длиной 16. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: половина хорды — 8. Радиус к концу хорды, половина хорды и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 10. Расстояние: √102 − 82 = √36 = 6. С касательной так же: радиус в точку касания — катет, отрезок от внешней точки до центра — гипотенуза. Ответ: 6.

Как выполнять задание

  1. Найдите на чертеже центр и радиусы. Проведите радиусы в точки касания и в вершины вписанной фигуры, даже если на рисунке их нет. Многие задачи 16 сводятся к равнобедренному треугольнику с боковыми сторонами-радиусами или к прямоугольному треугольнику с радиусом-катетом.
  2. Определите, какая фигура вписана, а какая описана. Окружность, вписанная в многоугольник, касается его сторон; описанная проходит через вершины. От этого зависит, работает свойство углов или свойство сторон.
  3. Для угла найдите дугу. Вписанный угол опирается на дугу между сторонами угла, центральный угол равен этой дуге, вписанный — её половине.
  4. Для длины ищите прямоугольный треугольник. Касательная перпендикулярна радиусу, перпендикуляр из центра делит хорду пополам, угол на диаметр прямой — дальше теорема Пифагора.
  5. Запишите в бланк № 1 число — целое или конечную десятичную дробь, без «°» и единиц. Если спрашивают площадь, проверьте, что в ответе квадрат длины, а не длина.

Формулы к заданию 16

В справочных материалах ОГЭ есть длина окружности и площадь круга, радиусы описанной и вписанной окружностей правильного треугольника и теорема синусов (asin α = 2R). Остальные свойства окружности нужно помнить:

  • вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны;
  • вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; поэтому центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, R = c2;
  • у четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°;
  • у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны;
  • касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; отрезки касательных из одной точки равны;
  • перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам;
  • сторона квадрата, описанного около окружности, равна 2r, диагональ квадрата, вписанного в окружность, — 2R; высота трапеции, описанной около окружности, равна 2r;
  • площадь многоугольника, описанного около окружности: S = pr, где p — полупериметр.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Как оценивается

Проверка по ключу: 1 балл, если ответ полностью совпал с эталоном и записан в форме, указанной в инструкции. Частичных баллов нет, ход решения не проверяют. Обыкновенную дробь переводят в десятичную и пишут через запятую, единицы измерения не пишут.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

Типичные ошибки

Вписанный угол приравнен к центральному

Если центральный угол AOB равен 124°, вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу, равен 62°, а не 124°.

Взята не та дуга

Вписанный угол опирается на дугу, которая не содержит его вершину. Если вершина C лежит на меньшей дуге AB с центральным углом 124°, то ∠ACB = 360° − 124°2 = 118°.

Радиус вместо диаметра

Сторона квадрата, описанного около окружности, и высота описанной трапеции равны диаметру 2r. Гипотенуза прямоугольного треугольника — тоже диаметр описанной окружности, так что R — её половина, а не вся гипотенуза.

Свойства вписанного и описанного четырёхугольника перепутаны

У вписанного в окружность четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°, у описанного около окружности равны суммы противоположных сторон. Соседние углы вписанного четырёхугольника в сумме 180° давать не обязаны.

Не проведён радиус в точку касания

Без радиуса OA прямой угол между касательной и радиусом не виден, и задача про касательную кажется нерешаемой. Радиус в точку касания — первое дополнительное построение.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027. «Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.» На чертеже окружность касается всех четырёх сторон квадрата, отмечен центр, радиус не подписан.

  1. Радиусы, проведённые в точки касания противоположных сторон, перпендикулярны этим сторонам и лежат на одной прямой. Поэтому расстояние между противоположными сторонами — диаметр: 2 · 7 = 14.
  2. Расстояние между противоположными сторонами квадрата равно его стороне: a = 14.
  3. S = a2 = 142 = 196.

Ответ: 196. Если принять сторону равной радиусу, получится 49 — площадь квадрата, построенного на радиусе, в четыре раза меньше нужной.

Демоверсия 2026 была про касательные: «Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO.» Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому треугольник, образованный ими и хордой AB, равнобедренный: углы при хорде — (180° − 72°) : 2 = 54°. Касательная перпендикулярна радиусу OB, значит, ∠ABO = 90° − 54° = 36°. Ответ: 36.

Вопросы и ответы

Что нужно знать для задания 16 ОГЭ по математике?

Вписанные и центральные углы, углы вписанного четырёхугольника, свойство сторон описанного четырёхугольника, касательную и хорду, радиусы окружностей, описанной и вписанной в треугольник, квадрат и трапецию. Длина окружности, площадь круга, радиусы окружностей правильного треугольника и теорема синусов есть в справочных материалах, свойства углов, касательных и описанных четырёхугольников — нет.

Есть ли в задании 16 круги Эйлера?

Нет. В задании 16 окружность — геометрическая фигура: задание относится к разделу «Геометрия» и решается через углы, радиусы, касательные и хорды. Круги Эйлера встречаются в задании 10 на вероятность: по диаграмме Эйлера находят вероятность события или число исходов.

Изменилось ли задание 16 в 2027 году?

Формат тот же: чертёж с окружностью, ответ — число, 1 балл. Сюжеты демоверсий разные: в 2026 году были касательные и угол, в 2027-м — квадрат, описанный около окружности, и его площадь.

Нужно ли записывать решение задания 16?

Нет. Задание 16 из части 1, в бланк № 1 записывают только число. Решение проверяют у заданий 20–25 части 2.

Где ответы к заданию 16?

В демоверсии 2027 года ответ 196, в демоверсии 2026-го — 36, решения обоих — в разборе выше. Свои решения проверяйте в тренажёре: там десять заданий номера 16, а у каждого прототипа есть кнопка «Ещё 5 таких».

Другие задания раздела «Геометрия»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →