Перейти к содержимому

Задание 15 ОГЭ по математике 2027: треугольники

Задание 15до 1 баллатреугольники
Раздел
Геометрия · часть 1
Максимальный балл
1 балл
Уровень сложности
базовый
Что проверяет
Применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний и площадей
Раздел кодификатора
7. Геометрия
Что нужно сделать
Найти угол, сторону или площадь треугольника по чертежу: сумма углов, биссектриса и медиана, теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс.
Как записать ответ
число в бланк № 1: целое или конечная десятичная дробь; обыкновенную дробь переводят в десятичную, единицы измерения не пишут
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

Задание 15 ОГЭ по математике открывает геометрию части 1: дан треугольник с чертежом, нужно найти угол, сторону или площадь. В 2027 году формат прежний: базовый уровень, краткий ответ — одно число, за верный ответ 1 балл.

Этот балл считается дважды: в общей сумме и в геометрии. К геометрии относятся задания 15–19 и 23–25, всего 11 баллов, и если по ним набрано меньше двух баллов, выставляется «2» при любой общей сумме.

Ниже — тренажёр, шесть прототипов с разбором, свойства треугольника, которых нет в справочных материалах ОГЭ, и разбор демоверсий 2027 и 2026 годов. Задачи на окружность — в задании 16, на четырёхугольники — в задании 17.

Тренажёр задания 15

Десять заданий номера 15: задание демоверсии ФИПИ, задания банка тренажёра и наших вариантов. Ответ проверяется по ключу без регистрации — появятся верный ответ, а у заданий банка ещё и разбор. Кнопка «Ещё 5 таких» у прототипа ниже даёт задания одного типа.

Загружаем задание…

Задание 15 вместе с остальными — в вариантах целиком.

Прототипы задания 15

Углы треугольника: сумма углов, высота, биссектриса

ПримерВ треугольнике ABC угол A равен 38°, угол C равен 64°, BH — высота, проведённая к стороне AC; на чертеже точка H лежит между A и C. Найдите угол ABH.
Треугольник ABH прямоугольный: ∠AHB = 90°. Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: ∠ABH = 90° − 38° = 52°. Угол C для ответа не нужен, но годится для проверки: ∠B = 180° − 38° − 64° = 78°, ∠HBC = 90° − 64° = 26°, и 52° + 26° = 78°. Ответ: 52.

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс

ПримерВ треугольнике ABC угол C прямой, BC = 12, tg A = 34. Найдите AC.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BCAC. Отсюда AC = BCtg A = 12 : 34 = 16. Проверка: 1216 = 34. Ответ: 16.

Теорема Пифагора

ПримерГипотенуза прямоугольного треугольника равна 29, один из катетов — 20. Найдите другой катет.
Неизвестен катет, поэтому из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета: 292 − 202 = 841 − 400 = 441. √441 = 21. Катет 21 меньше гипотенузы 29 — ответ правдоподобен. Ответ: 21.

Равносторонний треугольник: сторона и высота

ПримерСторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите его высоту.
Высота равностороннего треугольника — ещё и медиана: она делит сторону на половины по 5√3. По теореме Пифагора: h2 = (10√3)2 − (5√3)2 = 300 − 75 = 225, h = 15. То же по формуле из справочных материалов: h = a√32 = 10√3 · √32 = 302 = 15. Ответ: 15.

Площадь треугольника

ПримерДве стороны треугольника равны 12 и 9, угол между ними — 30°. Найдите площадь треугольника.
Площадь через две стороны и угол между ними: S = 12ab · sin γ. sin 30° = 12, поэтому S = 12 · 12 · 9 · 12 = 27. Если вместо угла дана высота к стороне, S = 12ah; у прямоугольного треугольника — половина произведения катетов. Ответ: 27.

Медиана и средняя линия

ПримерТочки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC; AB = 16, BC = 20, AC = 22. Найдите периметр треугольника MBN.
M и N — середины сторон, поэтому MB = 8, BN = 10. MN — средняя линия: она параллельна AC и равна её половине, MN = 11. P = 8 + 10 + 11 = 29 — ровно половина периметра треугольника ABC (58). Ответ: 29.

Как выполнять задание

Числа берут из условия, а не с чертежа: на рисунке демоверсии 2027 года величины углов и длины не подписаны, чертёж показывает только, как расположены точки и какие углы равны.

  1. Перенесите данные на чертёж. Отметьте известные углы, прямой угол, равные отрезки и равные углы. Условие вроде «AK = CK» сразу даёт равнобедренный треугольник.
  2. Определите вид треугольника. В прямоугольном работают теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс; в равнобедренном равны углы при основании; в равностороннем все углы по 60°.
  3. Найдите связь данного с искомым. Для углов — сумма 180° и внешний угол, для сторон — теорема Пифагора или тригонометрия, для площади — формула со стороной и высотой или с синусом угла.
  4. Проверьте правдоподобие. Катет короче гипотенузы, сумма двух углов меньше 180°, тупой угол на чертеже должен получиться больше 90°.
  5. Запишите число в бланк № 1. Целое или конечная десятичная дробь, без «°» и единиц измерения. Корень или бесконечная дробь в ответе — повод перепроверить решение.

Формулы к заданию 15

В справочных материалах есть теорема Пифагора, формулы площади треугольника, синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике, таблица их значений, а для правильного треугольника — высота, площадь и радиусы окружностей. Свойства, без которых задание 15 не решить, нужно помнить самим:

  • внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним;
  • острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°;
  • углы при основании равнобедренного треугольника равны, а медиана, проведённая к основанию, одновременно высота и биссектриса;
  • биссектриса делит угол пополам, медиана — противоположную сторону;
  • у равностороннего треугольника все углы по 60°, а каждая высота — одновременно медиана и биссектриса;
  • катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Как оценивается

Проверка по ключу: 1 балл, если ответ полностью совпал с эталоном и записан в форме, указанной в инструкции. Частичных баллов нет, ход решения не проверяют. Обыкновенную дробь переводят в десятичную и пишут через запятую, единицы измерения не пишут.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

Типичные ошибки

Синус и косинус перепутаны

Синус острого угла — противолежащий катет, делённый на гипотенузу, косинус — прилежащий. Подпишите на чертеже, какой катет лежит против данного угла: при прямом угле C против A лежит BC, против B — AC.

Половина угла принята за весь угол

Биссектриса AK делит угол A на два равных. Если найден ∠KAC = 25°, то ∠A = 50°; подставив в сумму углов 25° вместо 50°, получите неверный ответ.

Высота принята за медиану

Высота делит сторону пополам только в равностороннем треугольнике и в равнобедренном, если проведена к основанию. В произвольном треугольнике основание высоты — не середина стороны.

Внешний угол подставлен как внутренний

Внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B. При внешнем угле 118° и ∠A = 47° угол B равен 118° − 47° = 71°. Если подставить 118° в сумму углов как внутренний угол C, получится 180° − 118° − 47° = 15° — ошибка.

Квадраты сложены вместо вычитания

Когда неизвестен катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат другого катета: при гипотенузе 17 и катете 8 второй катет равен √172 − 82 = √225 = 15. Сумма квадратов дала бы √353 — длину больше гипотенузы.

В площади потерян множитель 12

S = 12ah и S = 12ab · sin γ. Без половины получается площадь параллелограмма, вдвое больше нужной.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027. «В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 25° и AK = CK.» На чертеже углы BAK и KAC отмечены одинаковыми дугами, числа не подписаны.

  1. AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный с основанием AC, и углы при основании равны: ∠KAC = ∠C = 25°.
  2. AK — биссектриса, поэтому весь угол A вдвое больше: ∠BAC = 2 · 25° = 50°.
  3. Сумма углов треугольника ABC: ∠B = 180° − 50° − 25° = 105°.

Ответ: 105. Сверка с чертежом: угол B там тупой, и 105° это подтверждает. Ключ к задаче — равенство AK = CK: без него углы при биссектрисе не найти.

Демоверсия 2026 была на тригонометрию: в треугольнике ABC угол C прямой, sin B = 37, AB = 21, найти AC. Против угла B лежит катет AC, поэтому AC = AB · sin B = 21 · 37 = 9. Ответ: 9. Обе задачи — одна позиция плана КИМ: от года к году меняется сюжет, а не формат.

Вопросы и ответы

Что нужно знать для задания 15 ОГЭ по математике?

Сумму углов треугольника и внешний угол, свойства биссектрисы, высоты и медианы, равнобедренный и равносторонний треугольник, теорему Пифагора, синус, косинус и тангенс, площадь треугольника и среднюю линию. В справочных материалах есть теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс, формулы площади, средняя линия и сумма углов многоугольника; свойства равнобедренного треугольника, биссектрисы, медианы, высоты и внешнего угла нужно помнить самим.

Изменилось ли задание 15 в 2027 году по сравнению с 2026-м?

Формат тот же: треугольник с чертежом, ответ — число, 1 балл. Различается содержание демоверсий: в 2026 году была тригонометрия в прямоугольном треугольнике, в 2027-м — биссектриса и углы. Форма ответа в 2027 году изменилась только у задания 19.

Какие задачи на треугольники бывают в задании 15?

В банке тренажёра шесть прототипов: углы (сумма углов, высота, биссектриса, внешний угол), синус, косинус и тангенс, теорема Пифагора, равносторонний треугольник, площадь, медиана и средняя линия. По каждому выше есть пример с разбором, а кнопка «Ещё 5 таких» даёт задания того же типа.

Можно ли на ОГЭ пользоваться линейкой и справочными материалами?

Да, линейка и справочные материалы разрешены, калькулятор — нет. Линейкой удобно достраивать чертёж, но длины в задании 15 находят вычислением по данным условия.

Где посмотреть ответы к заданию 15?

Ответы демоверсий — в разборе выше: 105 в 2027 году и 9 в 2026-м. Ответ к каждому прототипу стоит последней строкой его разбора, а в тренажёре на этой странице — десять заданий номера 15, первое из них — из демоверсии 2027 года.

Другие задания раздела «Геометрия»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →