Перейти к содержимому

Задание 18 ОГЭ по математике 2027: фигуры на клетчатой бумаге

Задание 18до 1 баллафигуры на клетчатой бумаге
Раздел
Геометрия · часть 1
Максимальный балл
1 балл
Уровень сложности
базовый
Что проверяет
Применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний и площадей
Раздел кодификатора
7. Геометрия
Что нужно сделать
По рисунку на клетчатой бумаге найти площадь фигуры, длину отрезка, расстояние или среднюю линию.
Как записать ответ
число в бланк № 1: целое или конечная десятичная дробь; обыкновенную дробь переводят в десятичную, единицы измерения не пишут
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

Задание 18 ОГЭ по математике — фигура или точки на клетчатой бумаге. Спрашивают площадь фигуры, длину отрезка, расстояние между точками или от точки до прямой, среднюю линию, а иногда — во сколько раз один отрезок длиннее другого. Всё это считается по клеткам: наклонный отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами по линиям сетки, площадь неудобной фигуры — прямоугольник за вычетом уголков.

Задание базового уровня, за верный ответ — 1 балл, ответ — число. Оно относится к геометрии вместе с заданиями 15–19 и 23–25: если по ним набрано меньше двух баллов, ставят «2» при любой сумме. В демоверсии 2027 года нужно найти расстояние между двумя точками, в демоверсии 2026-го — отношение площадей двух кругов; формат задания в 2027 году не изменился.

Теорема Пифагора, площади фигур и средняя линия есть в справочных материалах ОГЭ, их выдают на экзамене. Соседние задания геометрии — четырёхугольники в задании 17 и выбор верных утверждений в задании 19.

Тренажёр задания 18

Десять заданий номера 18: задание демоверсии ФИПИ, задания банка тренажёра и наших вариантов. Ответ проверяется по ключу без регистрации — появятся верный ответ, а у заданий банка ещё и разбор. Кнопка «Ещё 5 таких» у прототипа ниже даёт задания одного типа.

Загружаем задание…

Задание 18 вместе с остальными — в вариантах целиком.

Прототипы задания 18

Площадь фигуры на клетчатой бумаге

ПримерНа клетчатой бумаге с клеткой 1 × 1 изображён треугольник с вершинами в узлах A(1; 1), B(7; 2) и C(3; 6). Найдите площадь треугольника.
Все три стороны наклонные, поэтому обводим треугольник прямоугольником по сетке: от x = 1 до x = 7 и от y = 1 до y = 6, площадь 6 · 5 = 30. Уголки: у стороны AB катеты 6 и 1, площадь 3; у BC — 4 и 4, площадь 8; у CA — 2 и 5, площадь 5. Площадь треугольника: 30 − 3 − 8 − 5 = 14. Ответ: 14.

Длина отрезка, расстояние между точками

ПримерНа клетчатой бумаге с клеткой 1 × 1 отмечены узлы A(1; 2) и B(9; 8). Найдите длину отрезка AB.
Сдвиг по горизонтали: 9 − 1 = 8, по вертикали: 8 − 2 = 6. AB — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6. AB = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10. Ответ: 10.

Средняя линия трапеции

ПримерВершины трапеции ABCD на клетчатой бумаге с клеткой 1 × 1 — узлы A(1; 1), B(3; 5), C(6; 5) и D(10; 1). Найдите длину средней линии трапеции.
Основания лежат на линиях сетки: AD — от x = 1 до x = 10, это 9; BC — от x = 3 до x = 6, это 3. Средняя линия — полусумма оснований: 9 + 32 = 6. Высота и боковые стороны не нужны. Ответ: 6.

Во сколько раз один отрезок длиннее другого

ПримерНа клетчатой бумаге отмечены отрезки AB и CD: A(1; 1), B(7; 4), C(2; 6), D(4; 7). Во сколько раз отрезок AB длиннее отрезка CD?
Сдвиги: у AB — 6 вправо и 3 вверх, у CD — 2 вправо и 1 вверх. Сдвиги пропорциональны: 6 = 3 · 2 и 3 = 3 · 1, значит, AB длиннее CD в 3 раза. Проверка: AB = √36 + 9 = 3√5, CD = √4 + 1 = √5. Ответ: 3.

Расстояние от точки до наклонной прямой

ПримерПрямая на клетчатой бумаге с клеткой 1 × 1 проходит через узлы O(0; 0) и P(4; 3), точка C — узел (0; 5). Найдите расстояние от точки C до прямой OP.
Искомое расстояние — высота треугольника OPC, опущенная на OP. Площадь OPC: сторона OC = 5 идёт по линии сетки, высота к ней — 4 (сдвиг точки P вправо), S = 12 · 5 · 4 = 10. OP = √42 + 32 = 5. Высота к OP: h = 2SOP = 205 = 4. Ответ: 4.

Как выполнять задание

Сначала разметьте рисунок: выберите удобный узел за начало отсчёта и запишите координаты нужных точек в клетках. Дальше — по типу вопроса.

  • Длина отрезка, расстояние между точками. Отрезок по линии сетки равен числу клеток. Для наклонного найдите сдвиг между концами по горизонтали a и по вертикали b: длина — √a2 + b2.
  • Расстояние от точки до прямой. Это длина перпендикуляра. Если прямая идёт по линии сетки, перпендикуляр тоже идёт по сетке и считается клетками; до наклонной прямой расстояние находят как высоту треугольника через его площадь.
  • Площадь. Если основание и высота лежат на линиях сетки, хватит формулы из справочных материалов. Если стороны наклонные, фигуру обводят прямоугольником по сетке и вычитают прямоугольные треугольники и прямоугольники по углам.
  • Средняя линия. У трапеции — полусумма оснований, у треугольника — половина параллельной стороны.
  • «Во сколько раз». Если сдвиги двух отрезков пропорциональны, отношение видно без корней. Для площадей подобных фигур оно равно квадрату отношения радиусов или сторон.

Размер клетки дают в условии, когда от него зависит ответ: в демоверсии 2027 года — 1 × 1, а в демоверсии 2026 года его нет, потому что отношение площадей от клетки не зависит. При другой клетке длины умножают на её сторону, а площади — на её площадь.

Формулы к заданию 18

В справочных материалах ОГЭ есть теорема Пифагора, площади треугольника, параллелограмма, трапеции и ромба, средняя линия, длина окружности и площадь круга. Для клетчатой бумаги пригодится ещё несколько фактов, которых там нет.

  • Расстояние между узлами (x1; y1) и (x2; y2): √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 — та же теорема Пифагора, записанная в координатах.
  • Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: сторона больше в 3 раза — площадь больше в 9 раз.
  • Формула Пика для многоугольника с вершинами в узлах: S = В + Г2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, Г — на её границе. На экзамене её не требуют, но ей удобно проверить площадь, найденную вычитанием уголков.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Как оценивается

Проверка по ключу: 1 балл, если ответ полностью совпал с эталоном и записан в форме, указанной в инструкции. Частичных баллов нет, ход решения не проверяют. Обыкновенную дробь переводят в десятичную и пишут через запятую, единицы измерения не пишут.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

Типичные ошибки

Диагональ клетки принята за 1

Отрезок, который проходит по диагоналям четырёх клеток, имеет длину 4√2 ≈ 5,66, а не 4. Длину наклонного отрезка считают только через катеты.

Посчитаны линии сетки, а не клетки

Между узлами с x = 1 и x = 5 четыре клетки, а не пять. Сдвиг — это разность координат, и ошибка на единицу в одном катете меняет весь ответ.

Уголок вычтен как прямоугольник

Прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4 занимает 8 клеток, а не 16. Если забыть половину, площадь фигуры выйдет слишком маленькой, а иногда и отрицательной.

Высота взята по наклонной стороне

Высота перпендикулярна основанию. Если основание идёт по горизонтальной линии сетки, высота — вертикальное расстояние в клетках до противоположной вершины или стороны, а не длина боковой стороны.

Отношение радиусов вместо отношения площадей

Радиусы √2 и 1 дают площади, которые различаются в 2 раза, а не в √2. Площадь растёт как квадрат линейного размера.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027 года. «На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.» Точки стоят в узлах сетки, верхняя — на 4 клетки правее и на 3 клетки выше нижней.

  1. Соединяем точки и достраиваем прямоугольный треугольник с катетами по линиям сетки: горизонтальный катет — 4, вертикальный — 3.
  2. Расстояние — гипотенуза: √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5.
  3. Ответ: 5. Если посчитать линии сетки вместо промежутков, катеты выйдут 5 и 4, а длина — √41. Корень в бланк не записать, и это повод проверить счёт.

Демоверсия 2026 года. «На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?» Радиус меньшего круга равен стороне клетки, радиус большего — её диагонали, то есть √2. Площадь круга — πR2, и π при делении сокращается: (√2)212 = 2. Ответ: 2. Размер клетки в этом условии не дан и не нужен: отношение площадей от него не зависит.

Вопросы и ответы

Что нужно знать, чтобы решить 18 задание ОГЭ по математике?

Теорему Пифагора, формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и круга, среднюю линию треугольника и трапеции. Всё это есть в справочных материалах, которые выдают на экзамене. Остальное — счёт клеток: координаты узлов, сдвиги по горизонтали и вертикали.

Как найти площадь фигуры на клетчатой бумаге, если её стороны идут не по клеткам?

Фигуру обводят прямоугольником по линиям сетки и вычитают из его площади лишние куски — прямоугольные треугольники и прямоугольники по углам. У каждого уголка катеты идут по сетке, поэтому его площадь — половина произведения катетов.

Как посчитать длину отрезка по клеткам, если он идёт наискосок?

Считают сдвиг между концами по горизонтали a и по вертикали b, длина — √a2 + b2. Сдвиг 4 и 3 даёт 5, сдвиг 8 и 6 — 10, сдвиг 1 и 1 — √2.

Каким будет 18 задание ОГЭ по математике в 2027 году?

Тем же: фигуры и точки на клетчатой бумаге, ответ — число. В спецификации ОГЭ 2027 года изменений структуры КИМ нет, форма ответа поменялась только у задания 19. Демоверсии различаются по содержанию: в 2026 году — отношение площадей кругов, в 2027 году — расстояние между точками. Документы ФИПИ на 2027 год пока опубликованы как проект.

Другие задания раздела «Геометрия»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →