Перейти к содержимому

Задание 8 ОГЭ по математике 2027: степени и корни

Задание 8до 1 балластепени и корни
Раздел
Вычисления и преобразования · часть 1
Максимальный балл
1 балл
Уровень сложности
базовый
Что проверяет
Выполнять расчёты по формулам и преобразования выражений, в том числе по формулам разности квадратов и квадрата суммы и разности
Раздел кодификатора
1. Числа и вычисления; 2. Алгебраические выражения
Что нужно сделать
Найти значение выражения со степенями или корнями — числового или с переменной при заданном значении.
Как записать ответ
число в бланк № 1: целое или конечная десятичная дробь; обыкновенную дробь переводят в десятичную, единицы измерения не пишут
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

В задании 8 ОГЭ 2027 по математике нужно найти значение выражения со степенями или корнями — числового или с переменной, значение которой дано в условии. Задание базового уровня, за верный ответ — 1 балл. Проверяется умение выполнять расчёты по формулам и преобразовывать выражения, в том числе по формулам разности квадратов и квадрата суммы и разности.

Вычислять «в лоб» здесь почти не приходится. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, поэтому к концу решения большие степени сокращаются, а корни извлекаются нацело или взаимно уничтожаются. Главное — увидеть, какое правило работает: калькулятором на экзамене пользоваться нельзя. Свойства степени и корня есть в справочных материалах ОГЭ, их выдают вместе с вариантом.

Ниже — тренажёр из десяти заданий этого номера и шесть типов задания с разбором. Соседние вычислительные задания — задание 6 о действиях с дробями и задание 12 о расчёте по формуле.

Тренажёр задания 8

Десять заданий номера 8: задание демоверсии ФИПИ, задания банка тренажёра и наших вариантов. Ответ проверяется по ключу без регистрации — появятся верный ответ, а у заданий банка ещё и разбор. Кнопка «Ещё 5 таких» у прототипа ниже даёт задания одного типа.

Загружаем задание…

Задание 8 вместе с остальными — в вариантах целиком.

Прототипы задания 8

Произведение и частное корней

ПримерНайдите значение выражения √12 · √27 + √98√2.
1. Произведение корней — корень из произведения: √12 · 27 = √324. 2. 324 = 4 · 81, поэтому √324 = 2 · 9 = 18. 3. Частное корней — корень из частного: √982 = √49 = 7. 4. 18 + 7 = 25. Ответ: 25.

Степени с целыми показателями

ПримерНайдите значение выражения 5−4 · 5752 + 2−2.
1. В числителе показатели складываются: 5−4 · 57 = 53. 2. При делении вычитаются: 5352 = 51 = 5. 3. 2−2 = 122 = 14 = 0,25. 4. 5 + 0,25 = 5,25. Ответ: 5,25.

Степени с переменной: упростить и подставить

ПримерНайдите значение выражения (3x)3 · x−5x−4 при x = 2.
1. (3x)3 = 27x3 — в куб возводится и число. 2. Показатели переменной: 3 + (−5) − (−4) = 2, выражение равно 27x2. 3. При x = 2: 27 · 4 = 108. Ответ: 108.

Корень из дроби со степенями переменной

ПримерНайдите значение выражения √36a14a10 при a = −3.
1. Под корнем: a14a10 = a4, получаем √36a4. 2. √36a4 = 6a2 — модуль не нужен, потому что a2 ≥ 0 при любом a. 3. При a = −3: 6 · (−3)2 = 6 · 9 = 54. Ответ: 54.

Квадрат корня и квадрат разности с корнем

ПримерНайдите значение выражения (3√2)2 − (√5 − 2)2 − 4√5.
1. (3√2)2 = 9 · 2 = 18. 2. (√5 − 2)2 = 5 − 4√5 + 4 = 9 − 4√5. 3. 18 − (9 − 4√5) − 4√5 = 18 − 9 + 4√5 − 4√5 = 9. Ответ: 9.

Корень из полного квадрата

ПримерНайдите значение выражения √a2 − 10ab + 25b2 при a = 3, b = 2,6.
1. Под корнем квадрат разности: a2 − 10ab + 25b2 = (a − 5b)2. 2. √(a − 5b)2 = |a − 5b|. 3. a − 5b = 3 − 13 = −10, модуль равен 10. Ответ: 10.

Как выполнять задание

  1. Определите тип. Степени с числами, степени с переменной, произведение корней, корень из выражения с переменной или квадрат выражения с корнем — от типа зависит первый шаг.
  2. Приведите к общим основаниям. Составные основания раскладывают на множители: 70 = 7 · 10, 12 = 4 · 3, 0,2 = 15 = 5−1. После этого степени с одинаковым основанием объединяются.
  3. Работайте с показателями, а не со значениями. При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, при возведении степени в степень — умножают. Число 78 вычислять не нужно.
  4. Корни сводите под один знак и ищите в подкоренном числе полный квадрат: √12 · √27 = √324 = 18. Таблица квадратов двузначных чисел — в справочных материалах.
  5. Выражение с переменной сначала упростите, потом подставьте число: после сокращения обычно остаётся одна небольшая степень.
  6. Проверьте вид ответа. В бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь, без корня и без обыкновенной дроби: 14 записывают как 0,25. Если в ответе остался корень, ошибка — в одном из шагов.

Формулы к заданию 8

В справочных материалах есть свойства степени (в том числе a−n = 1an), корень из произведения и из частного, формулы сокращённого умножения и таблица квадратов. Чего там нет, но в задании 8 встречается:

  • a0 = 1 при a ≠ 0;
  • (ab)−n = (ba)n — дробь в отрицательной степени переворачивают;
  • (√a)2 = a при a ≥ 0 и (k√a)2 = k2a;
  • √a2 = |a|, а √a4 = a2 при любом знаке a;
  • вынесение множителя из-под корня: √k2a = k√a при k ≥ 0, например √50 = 5√2;
  • (√a + b)(√a − b) = a − b2 — поэтому дробь с суммой в знаменателе домножают на разность;
  • свойства степени в справочных материалах записаны для a > 0 и b > 0, но при целых показателях они верны и для отрицательных оснований: (−2)3 · (−2)2 = (−2)5 = −32.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Как оценивается

Проверка по ключу: 1 балл, если ответ полностью совпал с эталоном и записан в форме, указанной в инструкции. Частичных баллов нет, ход решения не проверяют. Обыкновенную дробь переводят в десятичную и пишут через запятую, единицы измерения не пишут.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

Типичные ошибки

Перемножают основания вместо сложения показателей

23 · 24 = 27, а не 47: при умножении степеней с одинаковым основанием основание не меняется, складываются только показатели.

Отрицательный показатель принимают за знак результата

2−3 = 18 = 0,125, а не −8 и не −6. Минус в показателе означает дробь, а не отрицательное число.

Теряют коэффициент при возведении в степень

(3x)3 = 27x3, а не 3x3: в степень возводится каждый множитель в скобках, и число тоже.

Складывают корни как подкоренные числа

√9 + √16 = 3 + 4 = 7, а √25 = 5. Под один корень объединяют только произведение и частное, сумму и разность — нет.

Раскрывают (√a − b)2 как a − b2

Пропадает удвоенное произведение: (√5 − 2)2 = 5 − 4√5 + 4. Именно слагаемое с корнем обычно сокращается с другой частью выражения, и без него ответ выходит с корнем.

Подставляют число до упрощения

В выражении a9a7 при a = 6 считать 69 долго и рискованно. Сначала a9a7 = a2, затем 62 = 36.

Разбор задания демоверсии 2027

Задание демоверсии 2027 года: «Найдите значение выражения 78 · 106706».

  1. Разложим основание знаменателя: 70 = 7 · 10, значит, 706 = 76 · 106 — степень произведения равна произведению степеней.
  2. Множитель 106 стоит и в числителе, и в знаменателе — сокращаем его.
  3. Остаётся 7876 = 78 − 6 = 72 = 49.

Ответ: 49. Ни 78, ни 706 вычислять не пришлось: всё решение держится на разложении 70 = 7 · 10.

В демоверсии 2026 года задание 8 было на корни: «Найдите значение выражения 12 + √3 + 12 − √3». Общий знаменатель по формуле разности квадратов: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Числитель: (2 − √3) + (2 + √3) = 4. Ответ: 4 — корни сократились, как и положено в задании с ответом-числом.

Вопросы и ответы

Что нужно сделать в задании 8 ОГЭ по математике?

Найти значение выражения со степенями или корнями и записать получившееся число в бланк ответов № 1. Выражение бывает числовым или с переменной — тогда её значение дано в условии. Задание базового уровня и оценивается в 1 балл.

Какие типы задания 8 встречаются на ОГЭ?

Среди прототипов открытого банка ФИПИ больше всего заданий на произведение и частное корней и на степени с целыми показателями. Реже — степени с переменной, корень из выражения со степенями переменной и квадрат выражения с корнем. Эти пять типов и корень из полного квадрата разобраны в прототипах выше.

Как решать примеры с корнями в задании 8?

Произведение и частное корней сводят под один корень: √a · √b = √ab. Затем подкоренное число раскладывают так, чтобы выделить полный квадрат. Если корень стоит в квадрате суммы или разности, скобку раскрывают по формуле, и слагаемые с корнем сокращаются.

Изменилось ли задание 8 ОГЭ в 2027 году?

Нет: позиция в плане экзамена та же, ответ — по-прежнему число. В демоверсии 2026 года было выражение с корнями в знаменателях, в демоверсии 2027 — частное степеней. Форма ответа в 2027 году поменялась только в задании 19.

Что записать в бланк, если в задании 8 получилась обыкновенная дробь?

Её переводят в десятичную: 38 записывают как 0,375. Если дробь в конечную десятичную не переводится, как 13, стоит перепроверить вычисления: ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь.

Можно ли решать задание 8 с калькулятором?

Нет, на ОГЭ по математике разрешены только линейка и справочные материалы. Большие степени поэтому не вычисляют, а сокращают по свойствам; для корней помогает таблица квадратов двузначных чисел.

Другие задания раздела «Вычисления и преобразования»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →