ОГЭ по математике 2027 — демоверсия ФИПИ
235 минут · 25 заданий · проверить ответы онлайн: https://egesto.ru/math-oge/varianty/2027
Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде равной ей десятичной дроби.
При выполнении заданий 20–25 требуется записать решение и ответ.
Часть 1
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины B в миллиметрах (рис. 2). Второе число — высоту боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 (мм).
Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.
За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.
1. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам?
| Ширина шины (мм) \ Диаметр диска (дюймы) | 12 | 13 | 14 |
|---|
| 175 | 175/70 | 175/65 | — |
| 185 | — | 185/60 | — |
| 195 | — | 195/60 | — |
Ответ дайте в миллиметрах.
2. Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/65 R14?
3. Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода.
Ответ дайте в миллиметрах.
4. На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 185/60 R13 меньше, чем радиус колеса с шиной 175/65 R13?
5. На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 175/65 R13?
Результат округлите до десятых.
6. Найдите значение выражения 5,2 · 3,1.
7. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу √77. Какая это точка?
- 1) точка A
- 2) точка B
- 3) точка C
- 4) точка D
8. Найдите значение выражения 78 · 106706.
9. Решите уравнение 3(x + 8) − 2(x − 8) = 8.
10. В магазине канцтоваров продаётся 200 ручек: 31 красная, 25 зелёных, 38 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.
11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А) Б) В) | 1) y = 1x 2) y = −x2 − 2 3) y = 12x |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
12. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 361,25 Вт, а сила тока равна 8,5 А.
Ответ дайте в омах.
13. Укажите решение системы неравенств
⎧ x + 3 ≥ −2,
⎩ x + 1,1 ≥ 0.
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
14. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты.
Ответ дайте в миллиграммах.
15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 25° и AK = CK.
16. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.
17. Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1) Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- 2) Диагонали ромба равны.
- 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответ запишите номер истинного высказывания.
Часть 2
Запишите сначала номер задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
20. Решите неравенство x ≤ 9x.
21. Два велосипедиста одновременно отправились в 224-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
22. Постройте график функции
y = ⎧ x2 + 2x + 1 при x ≥ −2,
⎩ x + 6 при x < −2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
23. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
24. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Справочные материалы
Алгебра
Формула корней квадратного уравнения
- x = −b ± √D2a, где D = b2 − 4ac
- Если квадратный трёхчлен ax2 + bx + c имеет два корня x1 и x2, то ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2);
- если квадратный трёхчлен ax2 + bx + c имеет единственный корень x0, то ax2 + bx + c = a(x − x0)2.
Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением y = ax2 + bx + c
Формулы сокращённого умножения
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
- a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Свойства арифметического квадратного корня
- √ab = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0
- √ab = √a√b при a ≥ 0, b > 0
Свойства степени
при a > 0, b > 0
- a−n = 1an
- an · am = an+m
- anam = an−m
- (an)m = anm
- (ab)n = an · bn
- (ab)n = anbn
Прогрессии
Формула n-го члена арифметической прогрессии (an), первый член которой равен a1 и разность равна d
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии (bn), первый член которой равен b1, а знаменатель равен q
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии
Таблица квадратов
Таблица квадратов двузначных чисел| Десятки \ единицы | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
|---|
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
|---|
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
|---|
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
|---|
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
|---|
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
|---|
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
|---|
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
|---|
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
|---|
Геометрия
- Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
Средняя линия треугольника и трапеции
- Треугольник ABC: MN — средняя линия, MN ∥ AC, MN = AC2
- Трапеция ABCD, BC ∥ AD: MN — средняя линия, MN ∥ AD, MN = BC + AD2
Описанная и вписанная окружности правильного треугольника
a — сторона треугольника
- Радиус описанной окружности: R = a√33
- Радиус вписанной окружности: r = a√36
- Высота: h = a√32
- Площадь: S = a2√34
Для треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a
- asin A = bsin B = csin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.
- c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
- Длина окружности C = 2πr
- Площадь круга S = πr2
Прямоугольный треугольник
a, b — катеты, c — гипотенуза, α — угол против катета a
- sin α = ac
- cos α = bc
- tg α = ab
- Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2.
- Основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
Некоторые значения тригонометрических функций| α, градусы | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|
| sin α | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 | −1 | 0 |
|---|
| cos α | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
|---|
| tg α | 0 | √33 | 1 | √3 | — | 0 | — | 0 |
|---|