Перейти к содержимому

Задание 21 ОГЭ по математике 2027: текстовая задача

Задание 21до 2 балловтекстовая задача
Раздел
Текстовые и практические задачи · часть 2
Максимальный балл
2 балла
Уровень сложности
повышенный
Что проверяет
Решать задачи разных типов, составлять уравнения и системы по условию задачи, исследовать полученное решение
Раздел кодификатора
3. Уравнения и неравенства
Что нужно сделать
Составить уравнение по условию задачи на движение, работу или смеси, решить его и обосновать ответ.
Как записать ответ
полное обоснованное решение и ответ на бланке № 2; верный ответ без решения — 0 баллов
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

В задании 21 ОГЭ по математике 2027 года условие дано словами — про движение, совместную работу или смеси. Нужно ввести переменную, составить по условию уравнение или систему, решить, отбросить корни, которые не подходят по смыслу, и ответить на вопрос задачи. Максимум — 2 балла. Уровень сложности повышенный, ожидаемый процент выполнения по спецификации — 15–30 %.

В демоверсии 2027 года — два велосипедиста на пробеге в 224 км, в демоверсии 2026 года — два раствора кислоты разной концентрации. Главное отличие от задания 20 с уравнением или неравенством — в критериях: верно составленная модель сама по себе даёт 1 балл, даже если дальше в решении есть ошибки. Поэтому уравнение стоит записать полностью, даже когда не уверены, что успеете его решить.

Ниже — как оформить решение, за что снижают баллы, пять примеров решений с оценкой, типы текстовых задач и разбор обеих демоверсий. Критерии ФИПИ — в карточке ниже, общие правила проверки части 2 — на странице критериев ОГЭ по математике.

Как оформить решение на полный балл

Для 2 баллов нужны верный ход решения и верный ответ. Комментарии к составлению стандартного уравнения, запись естественных ограничений и единицы измерения в ответе, по материалам ФИПИ для предметных комиссий, не обязательны. Обязательны сама модель, её решение и ответ именно на заданный вопрос.

  • Переменная. Одной строкой назовите, что обозначено и в каких единицах: «Пусть v км/ч — скорость второго велосипедиста». Так эксперту видно, что означает каждое слагаемое уравнения.
  • Модель. Выразите остальные величины через переменную и составьте уравнение, в котором складываются и сравниваются величины одной природы: часы с часами, килограммы с килограммами. Подойдут и система, и таблица, и арифметическое рассуждение — критерий говорит о модели «в алгебраической или иной форме».
  • Знаменатели. Переход от дробного уравнения к квадратному без отдельной строки «v ≠ 0» допустим, если в знаменателях скорости или время, которые по смыслу задачи не равны нулю.
  • Отбор корней. Корень, который противоречит условию, отбросьте и назовите причину: скорость не может быть отрицательной, собственная скорость лодки, идущей против течения, больше скорости течения.
  • Вопрос задачи. Перечитайте его перед ответом. Если найдена скорость одного участника, а спрашивают про другого, досчитайте.
  • Подбор. Угаданное и проверенное число — ещё не решение: нужно показать, что других ответов нет, то есть решить уравнение.

Критерии оценивания

Задание 21

Текстовая задача

до 2 баллов

Текстовая задача на движение, работу, смеси или проценты: составить по условию уравнение или систему и решить.

Содержание критерия

макс. 2 балла
2 балла
  • Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1 балл
  • Верно составлена математическая модель задачи (в алгебраической или иной форме), однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки
0 баллов
  • Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Важно
  • 1 балл можно получить и без верного ответа — за верно составленную математическую модель, если решение не доведено до конца или содержит ошибки.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

За что снимают баллы

ОшибкаСколько снимут
Уравнение составлено верно, но при приведении дробей к общему знаменателю или раскрытии скобок допущена ошибка1 балл по первой части критерия: модель верна, «однако решение до конца не доведено или содержит ошибки» (ПК-2026, пример 5 и упражнение 21.7)
Модель и ответ верны, но с арифметической ошибкой вычислен второй, отброшенный корень1 балл по второй части критерия — вычислительная ошибка в верном в целом решении (ПК-2026, упражнение 21.4)
Уравнение составлено и решено верно, но в ответе другая величина: скорость не того участника, время вместо скорости1 балл: искомая величина не найдена, решение не доведено до конца (ПК-2026, упражнение 21.6)
Уравнение составлено верно и корни найдены, но при переходе от корней к ответу допущена грубая ошибка в толковании модели1 балл: верная модель сохраняет балл (ПК-2026, упражнение 21.9)
Уравнение не соответствует условию — даже если дальше оно решено без ошибок0 баллов (ПК-2026, примеры 3 и 6; ПК-2025, с. 13 — эксперт поставил 1 балл, по критериям 0)
Перепутаны производительность и время: при совместной работе сложены времена0 баллов — логическая ошибка в модели (ПК-2026, упражнение 21.3)
Число из условия переписано неверно: 240 км вместо 224 км0 баллов: для нового числа всё решено верно, но решена другая задача (ПК-2026, упражнение 21.5)
Ответ найден подбором, отсутствие других решений не обосновано0 баллов (ПК-2026, упражнения 21.1 и 21.8)
Не снижают: нет записи x ≠ 0 или x(x + 30) ≠ 0, нет оговорки, что скорость баржи не равна скорости течения2 балла: ограничения следуют из смысла задачи, переход к квадратному уравнению корректен (ПК-2026, примеры 1 и 2; ПК-2025, с. 11–12)
Не снижают: нет пояснений к уравнению, единиц в ответе, «описания крупных членов уравнения»2 балла при верной модели и верном решении: такие требования ПК называет расширением критериев (общие подходы ПК-2026, с. 7; ПК-2025, с. 11)
Не снижают: описка на полях (c = 5400 вместо −5400), если в следующей строке стоит верное число2 балла (ПК-2026, пример 2)

Примеры решений с оценкой

Решение на 2 балла
Условие. Катер прошёл 60 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч. Решение. Пусть v км/ч — собственная скорость катера. По течению он идёт со скоростью v + 2 км/ч, против течения — v − 2 км/ч. 60v + 2 + 32v − 2 = 5; 60(v − 2) + 32(v + 2) = 5(v2 − 4); 92v − 56 = 5v2 − 20; 5v2 − 92v + 36 = 0; D = 8464 − 720 = 7744 = 882; v = 18 или v = 0,4. v = 0,4 не подходит: катер шёл против течения, значит, v > 2. Ответ: 18 км/ч. Оценка: 2 балла. Почему: модель верна, вычисления без ошибок, лишний корень отброшен с причиной.
1 балл: верное уравнение, ошибка в преобразованиях
Условие. Мастер делает в час на 4 детали больше, чем ученик, поэтому 96 деталей изготавливает на 4 часа быстрее. Сколько деталей в час делает ученик? Решение. Пусть ученик делает x деталей в час, тогда мастер — x + 4. 96x − 96x + 4 = 4; 96x + 4 − 96x = 4x(x + 4); 4x2 + 16x − 4 = 0; x2 + 4x − 1 = 0; x = −2 + √5, второй корень отрицателен. Ответ: −2 + √5. Оценка: 1 балл. Почему: уравнение составлено верно, но при умножении на x(x + 4) вместо 96(x + 4) = 96x + 384 записано 96x + 4. Верный путь даёт x2 + 4x − 96 = 0 и x = 8. Модель верна, решение с ошибкой — это первая часть критерия на 1 балл.
1 балл: найдена не та величина
Условие. Из города в посёлок, до которого 120 км, выехал автобус, а через час вслед за ним — легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше. В посёлок они прибыли одновременно. Найдите скорость автомобиля. Решение. Пусть v км/ч — скорость автобуса, тогда скорость автомобиля v + 20 км/ч. Автобус был в пути на час дольше: 120v − 120v + 20 = 1; 2400 = v2 + 20v; v2 + 20v − 2400 = 0; v = 40 или v = −60; v = −60 не подходит. Ответ: 40 км/ч. Оценка: 1 балл. Почему: модель и уравнение верны, но 40 км/ч — скорость автобуса, а спрашивали про автомобиль: 40 + 20 = 60 км/ч. Искомая величина не найдена.
0 баллов: неверная модель
Условие. Двое рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 6 часов. Первый, работая один, выполнил бы его на 5 часов быстрее второго. За сколько часов выполнит заказ один первый рабочий? Решение. Пусть первый выполняет заказ за x ч, второй — за x + 5 ч. Вместе: x + (x + 5) = 6, откуда x = 0,5. Ответ: 0,5 ч. Оценка: 0 баллов. Почему: при совместной работе складываются производительности, а не времена. Верная модель — 1x + 1x + 5 = 16, откуда x2 − 7x − 30 = 0 и x = 10. Модель неверна, поэтому ни одна часть критерия на 1 балл не подходит.
0 баллов: ответ подбором
Условие то же, что в решении на 2 балла: катер, 60 км по течению и 32 км против, 5 часов, течение 2 км/ч. Решение. Попробуем v = 18: по течению 20 км/ч, 60 : 20 = 3 ч; против течения 16 км/ч, 32 : 16 = 2 ч; 3 + 2 = 5 ч — подходит. Ответ: 18 км/ч. Оценка: 0 баллов. Почему: ответ верный и проверен, но модель не составлена и не показано, что других значений нет.

Типы задания 21

Движение вдогонку

ПримерВелосипедист выехал из посёлка со скоростью 12 км/ч. Через 1,5 часа по той же дороге выехал мотоциклист со скоростью 48 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?
За 1,5 ч велосипедист отъехал на 12 · 1,5 = 18 км. Скорость сближения: 48 − 12 = 36 км/ч. 18 : 36 = 0,5 ч. Ответ: 0,5 ч.

Туда и обратно с разной скоростью

ПримерАвтомобиль ехал из A в B со скоростью 60 км/ч, а обратно по той же дороге — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Пусть расстояние S км. Всё время: S60 + S40 = 5S120 = S24 ч. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время: 2S : S24 = 48 км/ч. Среднее арифметическое 50 км/ч здесь неверно: обратно машина ехала дольше. Ответ: 48 км/ч.

Движение по воде

ПримерКатер проходит 48 км по течению за 2 ч, а против течения — за 3 ч. Найдите скорость течения.
По течению: 48 : 2 = 24 км/ч, против: 48 : 3 = 16 км/ч. Это v + c и v − c, их разность равна 2c: 24 − 16 = 8, c = 4. Ответ: 4 км/ч.

Смеси и сплавы

Пример20 кг сплава, в котором 30 % меди, сплавили с куском другого сплава, где меди 60 %, и получили сплав с 40 % меди. Сколько килограммов весил второй кусок?
Пусть второй кусок — m кг. Меди в нём 0,6m кг, в первом — 0,3 · 20 = 6 кг. В новом сплаве (20 + m) кг, меди в нём 0,4(20 + m) кг. 6 + 0,6m = 8 + 0,4m; 0,2m = 2; m = 10. Ответ: 10 кг.

Сушка фруктов

ПримерСвежие яблоки содержат 80 % воды, сушёные — 20 %. Сколько килограммов сушёных яблок получится из 24 кг свежих?
При сушке уходит только вода, сухое вещество сохраняется: 20 % от 24 кг = 4,8 кг. В сушёных яблоках сухое вещество составляет 80 %: 4,8 : 0,8 = 6 кг. Ответ: 6 кг.

Протяжённые объекты

ПримерПоезд длиной 400 м проезжает мост длиной 500 м за 45 секунд. Найдите скорость поезда в километрах в час.
От въезда головы на мост до съезда хвоста поезд проходит сумму длин: 400 + 500 = 900 м. 900 : 45 = 20 м/с; 20 · 3,6 = 72 км/ч. Ответ: 72 км/ч.

Движение по окружности

ПримерДва бегуна одновременно стартуют из одной точки круговой дорожки длиной 400 м и бегут в одном направлении со скоростями 5 м/с и 4 м/с. Через сколько секунд первый впервые опередит второго на круг?
Каждую секунду первый уходит вперёд на 5 − 4 = 1 м. На круг, 400 м, — за 400 : 1 = 400 с. Ответ: 400 с.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027. «Два велосипедиста одновременно отправились в 224-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым».

  1. Вторым пришёл тот, кто ехал медленнее, — второй велосипедист. Его скорость и обозначаем v км/ч, тогда скорость первого — v + 2 км/ч. Ответом сразу будет сама переменная.
  2. Время в пути: 224v у второго и 224v + 2 у первого. Второй ехал на 2 часа дольше: 224v = 224v + 2 + 2.
  3. Умножаем на v(v + 2) — скорости положительны, знаменатели не равны нулю: 224v + 448 = 224v + 2v2 + 4v.
  4. Приводим подобные: 2v2 + 4v − 448 = 0, то есть v2 + 2v − 224 = 0. D = 4 + 896 = 900, v = 14 или v = −16.
  5. Скорость не может быть отрицательной, остаётся v = 14. Проверка: 224 : 14 = 16 ч, 224 : 16 = 14 ч, разница 2 ч.

Ответ: 14 км/ч. Если обозначить через x скорость первого велосипедиста, получится x = 16, и в ответ идёт x − 2 = 14. Ответ «16» при верном уравнении дал бы 1 балл: в материалах ПК так оценено решение, где уравнение решено, а искомая скорость не найдена (упражнение 21.6).

Демоверсия 2026 — задача на смеси: в сосудах 10 кг и 16 кг раствора кислоты; если слить их вместе, получится раствор с 55 % кислоты, если слить равные массы — с 61 %. Нужна концентрация первого раствора. Обозначим концентрации c1 % и c2 %. Кислоты в общей смеси 10c1 + 16c2100 кг, и это 55 % от 26 кг: 10c1 + 16c226 = 55. При равных массах концентрация смеси — среднее арифметическое: c1 + c22 = 61. Отсюда 10c1 + 16c2 = 1430 и c1 + c2 = 122; подставляем c2 = 122 − c1: −6c1 = −522, c1 = 87, c2 = 35. Ответ: 87.

Типичные ошибки

Сложили время вместо производительности

Если первый рабочий выполняет заказ за x часов, а второй — за x + 5, то за час вместе они делают 1x + 1x + 5 заказа. Уравнение x + (x + 5) = 6 неверно по смыслу: в материалах ПК такая путаница оценена нулём.

Разность времени записана наоборот

Кто едет быстрее, тратит меньше времени, поэтому из большего времени вычитают меньшее. Если в демоверсии записать 224v + 2 − 224v = 2, получится v2 + 2v + 224 = 0 — корней нет. Отсутствие положительного корня — повод перепроверить модель.

Ответ не на тот вопрос

Переменной удобно обозначить одну величину, а спрашивают другую: скорость второго участника, время всего пути, массу смеси. Перед строкой «Ответ» перечитайте последнее предложение условия. За верное уравнение без искомой величины ставят 1 балл, а не 2.

Посторонний корень посчитан небрежно или не отброшен

Даже корень, который вы отбросите, считайте аккуратно: в материалах ПК арифметическая ошибка в побочном корне при верном ответе стоила балла. И сравнивайте корни не только с нулём: собственная скорость катера 0,4 км/ч при течении 2 км/ч тоже не подходит.

Практика: решите задание

Условие из демоверсии ФИПИ и поле для решения — без регистрации. Проверка по критериям ФИПИ — в варианте после входа: решение сохранится в браузере и подставится туда.

Загружаем задание…

Решение с проверкой по критериям — в вариантах целиком.

Вопросы и ответы

Какие задачи бывают в 21 задании ОГЭ по математике?

Движение по прямой (навстречу, вдогонку, туда и обратно), движение по воде, смеси, растворы и сплавы, сушка фруктов, работа и производительность, протяжённые объекты (поезд мимо столба или платформы) и движение по окружности. Больше всего в банке ФИПИ задач на движение. Примеры — в решениях с оценкой и в разделе «Типы задания» выше.

Сколько баллов дают, если уравнение составлено верно, а решено с ошибкой?

1 балл. Строка критерия на 1 балл прямо говорит: верно составлена математическая модель, но решение не доведено до конца или содержит ошибки. Если же неверна сама модель, ставят 0 баллов, как бы аккуратно ни было решено уравнение.

Нужно ли в задании 21 писать ограничения x > 0 и x ≠ 0?

Нет, если они следуют из смысла задачи: скорость положительна, знаменатель из скоростей не равен нулю. Это прямо разобрано в материалах ФИПИ для предметных комиссий. Но корень, который противоречит условию, нужно отбросить и сказать почему.

Можно ли решить 21 задание подбором?

Подбор без обоснования, что других решений нет, оценивается нулём. Найденное подбором число полезно как проверка, а в решении должно быть уравнение и его решение.

Обязательно ли решать задачу уравнением?

Нет. Критерий говорит о модели «в алгебраической или иной форме»: подойдут система, таблица, рассуждение по действиям — если оно полное и верное. Нерациональный способ баллов не снижает.

Другие задания раздела «Текстовые и практические задачи»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →