Перейти к содержимому

Задание 20 ОГЭ по математике 2027: уравнения и неравенства

Задание 20до 2 балловуравнения и неравенства
Раздел
Уравнения и неравенства · часть 2
Максимальный балл
2 балла
Уровень сложности
повышенный
Что проверяет
Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе дробно-рациональные
Раздел кодификатора
2. Алгебраические выражения; 3. Уравнения и неравенства
Что нужно сделать
Решить уравнение, неравенство или систему и записать полное обоснованное решение с ответом.
Как записать ответ
полное обоснованное решение и ответ на бланке № 2; верный ответ без решения — 0 баллов
Решать варианты ОГЭ целиком →Практика на этой странице ↓

Задание 20 ОГЭ по математике 2027 открывает вторую часть работы: нужно решить уравнение, неравенство или систему и записать решение полностью — с переходами, отбором корней и ответом. Максимум — 2 балла, решение пишут на бланке ответов № 2. По спецификации это задание повышенного уровня с ожидаемым процентом выполнения 30–50 %; вместе с геометрическим заданием 23 оно самое доступное в части 2.

В демоверсии 2027 года — дробно-рациональное неравенство x ≤ 9x, в демоверсии 2026 года была система из двух уравнений. Алгоритмы здесь школьные, а проверяют то, чего не видно по ответу в части 1: не потерян ли корень, исключены ли значения, при которых знаменатель равен нулю, верно ли расставлены знаки на интервалах.

Ниже — как оформить решение, за что снижают баллы, примеры решений на 2, 1 и 0 баллов и разбор демоверсии. Формулировки критериев ФИПИ — в карточке ниже и на странице критериев ОГЭ по математике; следующее задание части 2 — текстовая задача 21.

Как оформить решение на полный балл

Критерий на 2 балла короткий — «обоснованно получен верный ответ». Обоснованно значит, что каждый переход виден и не теряет и не добавляет корней. Ссылаться на общеизвестные алгоритмы не нужно: по материалам ФИПИ для предметных комиссий лаконичное решение без неверных утверждений и ошибочных выкладок считается решением без недостатков.

  • Знаменатель. В дробно-рациональном уравнении выпишите значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и сверьте с ними найденные корни. Совпавший корень вычеркните и напишите почему.
  • Корень. Если в уравнении есть √…, запишите условие на подкоренное выражение и отберите корни по нему. Посторонний корень в ответе стоит всего задания, а не одного балла.
  • Неравенство. Перенесите всё в одну часть, приведите к общему знаменателю и разложите на множители. На прямой отметьте нули числителя и знаменателя: нули знаменателя всегда выколоты, нули числителя закрашены только при нестрогом знаке. Знак проверяйте на каждом интервале, а не по шаблону.
  • Неравенство не умножают на выражение с переменной, пока неизвестен его знак: при отрицательном множителе знак неравенства меняется, и часть решений теряется.
  • Система. Если одно уравнение распадается на случаи (произведение равно нулю), доведите до конца каждый — и там, где решений нет, так и напишите.
  • Ответ. Перечислите все корни или все промежутки, для системы — пары (x; y). Если все корни верно найдены в решении, отсутствие строки «Ответ» на оценку не влияет, но с ней проще ничего не потерять.

Способ решения выбираете вы: квадратное уравнение можно решать через дискриминант, по теореме Виета, выделением полного квадрата или подбором корней. Нерациональный путь и лишние рассуждения баллов не снижают.

Критерии оценивания

Задание 20

Уравнения, неравенства, системы

до 2 баллов

Уравнение, неравенство или система — с решением и ответом.

Содержание критерия

макс. 2 балла
2 балла
  • Обоснованно получен верный ответ
1 балл
  • Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0 баллов
  • Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Важно
  • Два балла — только за обоснованно полученный ответ. Верный ответ без решения не подходит ни под одну строку критериев и оценивается нулём.

Критерии всех заданий экзамена — на странице критериев ОГЭ.

За что снимают баллы

ОшибкаСколько снимут
Вычислительная ошибка ближе к концу: неверно посчитан корень, потерян знак при вычислении — а дальше всё сделано верно с учётом этой ошибки1 балл — это ровно строка критерия «допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно» (ПК-2026, упражнения 20.7 и 20.10)
Арифметическая ошибка изменила ход решения: например, при раскрытии скобок получился другой свободный член, и не найдено два корня из трёх0 баллов: ошибка повлияла на ход решения, критерий на 1 балл не применяется (ПК-2026, упражнение 20.12)
Потерян корень: из x2 = 1 записано только x = 10 баллов (ПК-2026, пример 4 и упражнение 20.13)
Не учтено ограничение: в ответе остался корень, при котором подкоренное выражение отрицательно или знаменатель равен нулю0 баллов (ПК-2026, упражнение 20.6: «Не учтено ограничение 6 − x ≥ 0»)
Ошибка в знаках на интервалах или неверно решено квадратное неравенство0 баллов: это ошибка в ходе решения, а не в вычислениях (ПК-2026, пример 3 и упражнение 20.1; ПК-2025, с. 16 — эксперты поставили 1 балл, верная оценка 0)
Ошибка при разложении на множители: неверный знак перед второй скобкой при группировке, неверное преобразование выражения с корнем0 баллов (ПК-2026, примеры 4, 8, 9 и упражнение 20.14)
Дан только ответ; записи фрагментарны, строки не связаны между собой и с условием0 баллов (общие подходы ПК-2026, с. 7; упражнения 20.5 и 20.11)
При переписывании условия изменён коэффициент, и решено другое уравнение0 баллов: по общим подходам ПК описка, из-за которой решена задача с изменённым условием, оценивается нулём, даже если всё остальное верно
Не снижают: неравенство 6 − x ≥ 0 не доведено до x ≤ 6, при отборе нет прямой ссылки на него2 балла, если из решения видно, почему корень отброшен: ПК-2026 (пример 1) называет такие требования избыточными
Не снижают: квадратное уравнение решено по теореме Виета без проверки дискриминанта; написано «нет корней» без слова «действительных»2 балла: проверку дискриминанта при теореме Виета ПК-2026 считает избыточной, запись «нет корней» — корректной (пример 2)
Не снижают: уравнение 1x = a решено через взаимно обратные числа или пропорцию без отдельной записи x ≠ 02 балла (ПК-2026, пример 6). В 2025 году региональная комиссия ввела обязательное x ≠ 0 и поставила 0 — ФИПИ назвал решение корректным и полным (ПК-2025, с. 18)

Примеры решений с оценкой

Решение на 2 балла
Условие. Решите уравнение xx − 3 − 6x + 3 = 18x2 − 9. Решение. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3), поэтому x ≠ 3 и x ≠ −3. Умножим обе части на (x − 3)(x + 3): x(x + 3) − 6(x − 3) = 18; x2 + 3x − 6x + 18 = 18; x2 − 3x = 0; x(x − 3) = 0, откуда x = 0 или x = 3. x = 3 не подходит: при нём знаменатель равен нулю. Ответ: 0. Оценка: 2 балла. Почему: все переходы видны, запрещённые значения выписаны, посторонний корень отброшен с объяснением — верный ответ получен обоснованно.
Решение на 2 балла: короткая запись системы
Условие. Решите систему уравнений ⎧ y − x = 1, ⎩ x2 + y2 = 25. Решение. y = x + 1; x2 + (x + 1)2 = 25; 2x2 + 2x − 24 = 0; x2 + x − 12 = 0. По теореме Виета x = 3 или x = −4, тогда y = 4 или y = −3. Ответ: (3; 4), (−4; −3). Оценка: 2 балла. Почему: три строки, но все шаги на месте и ошибок нет; проверка дискриминанта при теореме Виета не нужна.
1 балл: ошибка при вычислении корня
Условие. Решите уравнение x4 − 5x2 − 36 = 0. Решение. Пусть t = x2, t ≥ 0. Тогда t2 − 5t − 36 = 0. D = 25 + 144 = 169, √169 = 13. t = 5 + 132 = 8 или t = 5 − 132 = −4. t = −4 не подходит, так как t ≥ 0. x2 = 8, откуда x = 2√2 или x = −2√2. Ответ: −2√2; 2√2. Оценка: 1 балл. Почему: (5 + 13) : 2 = 9, а не 8, верный ответ — ±3. Но замена, отбор t и последний шаг выполнены верно с учётом ошибки — это строка критерия на 1 балл.
0 баллов: потерян корень
Условие. Решите уравнение x3 + 4x2 − 4x − 16 = 0. Решение. x2(x + 4) − 4(x + 4) = 0; (x + 4)(x2 − 4) = 0; x = −4 или x2 = 4, откуда x = 2. Ответ: −4; 2. Оценка: 0 баллов. Почему: группировка верная, но у x2 = 4 два корня, x = −2 потерян. Верный ответ: −4; −2; 2. Потеря корня — не вычислительная ошибка, и критерий на 1 балл к ней не применяется.
0 баллов: в ответе посторонний корень
Условие. Решите уравнение x2 + 2x + √1 − x = √1 − x + 8. Решение. Вычтем √1 − x из обеих частей: x2 + 2x − 8 = 0, откуда x = 2 или x = −4. Ответ: −4; 2. Оценка: 0 баллов. Почему: при x = 2 подкоренное выражение равно 1 − 2 = −1, и √1 − x не имеет смысла. Нужно было записать условие 1 − x ≥ 0 — по нему остаётся только x = −4.

Типы задания 20

Уравнение высшей степени: общий множитель

ПримерРешите уравнение (x2 − 4)(x + 3) = 4(x2 − 4).
Делить обе части на x2 − 4 нельзя: потеряются корни ±2. Переносим всё влево и выносим общий множитель: (x2 − 4)(x + 3 − 4) = 0. (x2 − 4)(x − 1) = 0, откуда x2 = 4 или x = 1. Ответ: −2; 1; 2.

Биквадратное уравнение и замена

ПримерРешите уравнение (x − 2)4 − (x − 2)2 − 12 = 0.
Пусть t = (x − 2)2, t ≥ 0: t2 − t − 12 = 0, t = 4 или t = −3. t = −3 не подходит. (x − 2)2 = 4: x − 2 = 2 или x − 2 = −2. Ответ: 0; 4.

Система: сложение уравнений

ПримерРешите систему: 2x2 + y2 = 22, x2 − y2 = 5.
Складываем уравнения: 3x2 = 27, x2 = 9, x = ±3. Из второго уравнения y2 = 9 − 5 = 4, y = ±2. Знаки x и y независимы — получается четыре пары. Ответ: (−3; −2), (−3; 2), (3; −2), (3; 2).

Дробно-рациональное уравнение

ПримерРешите уравнение 3x − 1 − 2x + 1 = 1.
Ограничения: x ≠ 1, x ≠ −1. Умножаем на (x − 1)(x + 1): 3(x + 1) − 2(x − 1) = x2 − 1. x + 5 = x2 − 1; x2 − x − 6 = 0; x = 3 или x = −2. Оба корня допустимы. Ответ: −2; 3.

Неравенство через разность квадратов

ПримерРешите неравенство (2x − 7)2 ≥ (7x − 2)2.
Переносим всё влево: (2x − 7)2 − (7x − 2)2 ≥ 0. (2x − 7 − 7x + 2)(2x − 7 + 7x − 2) ≥ 0; (−5x − 5)(9x − 9) ≥ 0. −45(x + 1)(x − 1) ≥ 0; делим на −45 и меняем знак: (x + 1)(x − 1) ≤ 0. Ответ: [−1; 1].

Рациональное неравенство с отдельной точкой

ПримерРешите неравенство (x − 1)2x + 3 ≤ 0.
Числитель (x − 1)2 неотрицателен и равен нулю только при x = 1; при x = 1 знаменатель равен 4, дробь равна 0 — подходит. При x ≠ 1 дробь отрицательна, когда x + 3 < 0, то есть x < −3. Точка −3 выколота. Ответ: (−∞; −3) ∪ {1}.

Значение выражения по отношению

ПримерНайдите значение выражения 3a − 2ba + 4b, если ab = 2.
Из ab = 2 следует a = 2b, причём b ≠ 0. Подставляем: 6b − 2b2b + 4b = 4b6b = 23. Ответ: 23.

Формулы, которые выдают на экзамене, — в справочных материалах ОГЭ.

Разбор задания демоверсии 2027

Демоверсия 2027. Решите неравенство x ≤ 9x.

  1. Умножать обе части на x нельзя: знак x неизвестен, а при x < 0 знак неравенства сменился бы. Переносим дробь влево: x − 9x ≤ 0.
  2. Приводим к общему знаменателю: x2 − 9x ≤ 0. Раскладываем числитель: (x − 3)(x + 3)x ≤ 0.
  3. Отмечаем на прямой −3, 0 и 3. Точки −3 и 3 — нули числителя, при знаке «≤» они входят в ответ. Точка 0 — нуль знаменателя, она выколота.
  4. Расставляем знаки: при x > 3 все множители положительны — «+»; на (0; 3) — «−»; на (−3; 0) — «+»; при x < −3 — «−».
  5. Берём промежутки со знаком «−» вместе с нулями числителя: x ≤ −3 или 0 < x ≤ 3.

Ответ: (−∞; −3] ∪ (0; 3]. В решении ФИПИ это две строки: цепочка преобразований и итог. Расписывать метод интервалов не требуется — важны верный переход и верные концы промежутков. Проверка подстановкой: x = −4 даёт −4 ≤ −2,25 — верно; x = −1 даёт −1 ≤ −9 — неверно, значит, промежуток (−3; 0) в ответ не входит.

Демоверсия 2026 была системой: (x − 6)(y − 7) = 0 и y − 4x + y − 10 = 3. Первое уравнение даёт два случая. При x = 6 второе принимает вид y − 4y − 4 = 3: слева единица, решений нет. При y = 7 получаем 3x − 3 = 3, откуда x = 4. Ответ: (4; 7). Если избавиться от знаменателя, не проверив его, появляется лишняя пара (6; 4) — при ней знаменатель x + y − 10 равен нулю.

Типичные ошибки

Из x2 = a взят один корень

После группировки или замены остаётся уравнение x2 = 4, и в ответ попадает только x = 2. Корней два: ±2. В материалах ПК такой ответ оценён нулём — это неполное решение, а не описка.

Минус перед скобкой при группировке

x3 + 4x2 − 4x − 16 = x2(x + 4) − 4(x + 4): вынося −4, знак меняют у обоих слагаемых, во второй скобке получается x + 4. Ошибка в знаке ломает разложение, и корни выходят другие.

Корень не проверен по ограничению

Если в обеих частях уравнения стоит одно и то же выражение √…, его вычитают — но условие на подкоренное выражение остаётся. Квадратное уравнение может дать значение x, при котором корень не имеет смысла; такое значение нужно отбросить.

Знаки на интервалах по шаблону «+ − +»

Чередование знаков верно, только когда каждый множитель входит в нечётной степени. Множитель (x − 1)2 знака не меняет, а у множителя вида (3 − x) знаки идут в обратном порядке. Надёжнее подставить по одному числу из каждого интервала.

Неравенство умножили на x

Из x ≤ 9x получают x2 ≤ 9 и ответ [−3; 3] — при отрицательных x знак должен был смениться, а x = 0 вообще недопустим. Переносите всё в одну часть и решайте методом интервалов.

Ошибка в середине решения считается «вычислительной»

Один балл ставят, только если после ошибки ход решения не изменился. Неверный свободный член после раскрытия скобок даёт другое уравнение с другим числом корней — по материалам ПК это 0 баллов.

Практика: решите задание

Условие из демоверсии ФИПИ и поле для решения — без регистрации. Проверка по критериям ФИПИ — в варианте после входа: решение сохранится в браузере и подставится туда.

Загружаем задание…

Решение с проверкой по критериям — в вариантах целиком.

Вопросы и ответы

Какие уравнения бывают в 20 задании ОГЭ по математике?

Уравнения высшей степени (группировка, вынесение общего множителя), биквадратные и уравнения с заменой, дробно-рациональные уравнения, уравнения с корнем, системы, рациональные и квадратные неравенства, а также задачи на значение выражения по отношению переменных. Пример каждого типа с решением — в разделе «Типы задания» выше.

Когда за 20 задание ставят 1 балл, а когда 0?

1 балл — если решение доведено до конца, допущена вычислительная ошибка и всё после неё сделано верно с её учётом. Потерянный корень, посторонний корень в ответе, ошибка в знаках на интервалах или в разложении на множители — это 0 баллов, даже если остальное верно.

Нужно ли писать ОДЗ в 20 задании ОГЭ?

Ограничения нужны там, где они отсекают корни: знаменатель, подкоренное выражение. Отдельный заголовок «ОДЗ» не обязателен — достаточно, чтобы из решения было видно, почему корень отброшен. Доводить условие 6 − x ≥ 0 до x ≤ 6 эксперт требовать не вправе.

Можно ли решать квадратное уравнение по теореме Виета или подбором?

Да. По материалам ФИПИ для предметных комиссий квадратное уравнение решают любым способом: через дискриминант, по теореме Виета, выделением полного квадрата, подбором одного или обоих корней. Проверять знак дискриминанта при теореме Виета не нужно.

Чем задание 20 отличается от задания 9?

Задание 9 — из части 1: линейное или квадратное уравнение, в бланк идёт только число, 1 балл; неравенства части 1 — в задании 13. В задании 20 уравнения сложнее, нужна полная запись решения, оценка — до 2 баллов по критериям ФИПИ.

Изменилось ли задание 20 в 2027 году?

Нет: позиция в плане, критерии и максимум 2 балла те же, что в 2026 году. Поменялось содержание демоверсии: в 2026 году — система уравнений, в 2027 — рациональное неравенство.

Другие задания раздела «Уравнения и неравенства»

По демоверсии, спецификации и кодификатору ФИПИ 2027
Обновлено:

Все задания ОГЭ →