Вариант 2 · математика · 9 класс

ОГЭ по математике 2027 — вариант 2

Наш тренировочный вариант по образцу демоверсии ФИПИ 2027 года.

25 заданий235 минут31 баллОценка 2–5

Вариант 2 ОГЭ по математике

В работе 25 заданий в двух частях. Часть 1 — задания 1–19 с кратким ответом, по 1 баллу: первые пять — практические задачи к одному тексту. Часть 2 — задания 20–25 с полным решением, по 2 балла. Максимум — 31 первичный балл, на экзамен отводится 235 минут.

Часть 1 проверяется сразу по ключу, график задания 22 — по эталону. Решения 20, 21, 23–25 можно отдать ИИ-эксперту: он выставит баллы по критериям ФИПИ и объяснит, где балл потерян. Сразу после сдачи по каждому заданию части 2 открываются эталонное решение и критерии. Отметка зависит и от геометрии: меньше 2 баллов за задания 15–19 и 23–25 — «2».

ОГЭ по математике 2027 — вариант 2

235 минут · 25 заданий · проверить ответы онлайн: https://egesto.ru/math-oge/varianty/2

Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде равной ей десятичной дроби.

При выполнении заданий 20–25 требуется записать решение и ответ.

Часть 1

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

На рисунке изображён план дачного участка (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет форму прямоугольника. Въезжают на участок и выходят с него через единственные ворота со стороны улицы.

Сразу за воротами устроена площадка, вымощенная тротуарной плиткой, а за площадкой стоит гараж. Слева от ворот вдоль улицы расположен жилой дом; от площадки к дому ведёт дорожка. Между домом и гаражом выкопан небольшой пруд. От конца дорожки у площадки вдоль левой стены гаража отходит ещё одна дорожка — к бане, которая стоит в глубине участка.

За домом, в левой верхней части участка, разбит огород, а внутри огорода построена теплица; от дома к огороду проложена короткая дорожка. В правой части участка, в стороне от дорожек, стоит сарай для садового инвентаря.

Все дорожки на участке имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Площадка перед гаражом вымощена такой же плиткой.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане.

А) сарай

Б) баня

В) теплица

Г) жилой дом

В таблице под каждой буквой укажите цифру, которой объект обозначен на плане.

	А	Б	В	Г
Ответ:

2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы вымостить все дорожки и площадку перед гаражом?

Упаковки продаются только целиком.

Ответ:

3. Найдите расстояние от жилого дома до бани (расстояние между двумя их ближайшими точками по прямой).

Ответ дайте в метрах.

Ответ:

4. Сколько процентов площади участка занимает огород вместе с теплицей?

Ответ дайте в процентах.

Ответ:

5. Хозяин участка решил провести в жилой дом отопление и выбирает между газовым и электрическим. Цены оборудования и его монтажа, расход газа и электроэнергии и их стоимость приведены в таблице. Взвесив оба варианта, хозяин выбрал газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества покроет разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Котёл	Прочее оборудование и монтаж	Средний расход газа / средняя потребляемая мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	30 800 руб.	22 200 руб.	1,2 м³ в час	7,5 руб. за 1 м³
Электрическое отопление	17 500 руб.	11 300 руб.	5 кВт	6,2 руб. за 1 кВт · ч

Ответ дайте в часах.

Ответ:

6. Найдите значение выражения 78 · 3,6.

Ответ:

7. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [57; 79]?

1) 0,7
2) 0,71
3) 0,75
4) 0,78

Ответ:

8. Найдите значение выражения a⁻⁶ · a¹¹a⁸ при a = 15.

Ответ:

9. Решите уравнение 16x² − 81 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ:

10. На школьном фестивале чтецов выступают 40 участников: 13 из гимназии № 1, 9 из лицея № 2, остальные — из школы № 5. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что пятым будет выступать участник из школы № 5.

Ответ:

11. На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А)

Б)

В)

1) a > 0, c > 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

	А	Б	В
Ответ:

12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂ sin α2, где d₁ и d₂ — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 16, sin α = 25, а S = 20,8.

Ответ:

13. Укажите решение неравенства 2x − 9 > 5x + 3.

Ответ:

14. Мяч упал с высоты 6,25 м. После каждого удара о землю он подскакивает на высоту, составляющую 45 высоты, с которой упал перед этим. После какого по счёту удара о землю мяч впервые поднимется на высоту меньше 2 м?

Ответ:

15. В треугольнике ABC угол A равен 52°, угол B равен 74°, BH — высота. Найдите угол HBC.

Ответ дайте в градусах.

Ответ:

16. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катеты AC и BC равны 28 и 45. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ:

17. Стороны AB и AD параллелограмма ABCD равны 9 и 14, а угол ABC равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:

18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Ответ:

19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Внешний угол треугольника равен сумме всех трёх внутренних углов этого треугольника.
2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой.
3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

В ответ запишите номер истинного высказывания.

Ответ:

Часть 2

Запишите сначала номер задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.

20. Решите уравнение (x − 2)⁴ − 5(x − 2)² − 36 = 0.

Решение:

21. Две бригады, работая вместе, могут уложить плитку на площадке за 12 дней. Первая бригада, работая одна, выполнит эту работу на 10 дней быстрее, чем вторая. За сколько дней может уложить плитку на площадке первая бригада, работая одна?

Решение:

22. Постройте график функции y = 2x² + x − 1x² + x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

23. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону AB в точке K, причём AK : KB = 3 : 2. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 12.

Решение:

24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BK и CM. Докажите, что треугольники AKM и ABC подобны.

Решение:

25. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите радиус окружности, если AB = 16, CD = 30.

Решение:

Справочные материалы

Алгебра

Формула корней квадратного уравнения

x = −b ± √D2a, где D = b² − 4ac

Если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет два корня x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂);
если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет единственный корень x₀, то ax² + bx + c = a(x − x₀)².

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c

x₀ = −b2a

Формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)

Свойства арифметического квадратного корня

√ab = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0
√ab = √a√b при a ≥ 0, b > 0

Свойства степени

при a > 0, b > 0

a⁻ⁿ = 1aⁿ
aⁿ · a^m = a^n+m
aⁿa^m = a^n−m
(aⁿ)^m = a^nm
(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии (a_n), первый член которой равен a₁ и разность равна d

a_n = a₁ + d(n − 1)

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

S_n = (a₁ + a_n)n2

Формула n-го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, а знаменатель равен q

b_n = b₁ · q^{n − 1}

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

S_n = (qⁿ − 1)b₁q − 1

Таблица квадратов

Таблица квадратов двузначных чисел
Десятки \ единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Геометрия

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).

Средняя линия треугольника и трапеции

Треугольник ABC: MN — средняя линия, MN ∥ AC, MN = AC2
Трапеция ABCD, BC ∥ AD: MN — средняя линия, MN ∥ AD, MN = BC + AD2

Описанная и вписанная окружности правильного треугольника

a — сторона треугольника

Радиус описанной окружности: R = a√33
Радиус вписанной окружности: r = a√36
Высота: h = a√32
Площадь: S = a²√34

Для треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a

asin A = bsin B = csin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.
c² = a² + b² − 2ab cos C.

Длина окружности C = 2πr
Площадь круга S = πr²

Площади фигур

Параллелограмм

S = ah_a
S = ab sin γ

Треугольник

S = 12ah_a
S = 12ab sin γ

Трапеция

S = a + b2 · h

Ромб

d₁, d₂ — диагонали

S = 12d₁d₂

Прямоугольный треугольник

a, b — катеты, c — гипотенуза, α — угол против катета a

sin α = ac
cos α = bc
tg α = ab

Теорема Пифагора: a² + b² = c².

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Некоторые значения тригонометрических функций
α, градусы	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	0	12	√22	√32	1	0	−1	0
cos α	1	√32	√22	12	0	−1	0	1
tg α	0	√33	1	√3	—	0	—	0