Вариант 1 · математика · 9 класс

ОГЭ по математике 2027 — вариант 1

Наш тренировочный вариант по образцу демоверсии ФИПИ 2027 года.

25 заданий235 минут31 баллОценка 2–5

Вариант 1 ОГЭ по математике

В работе 25 заданий в двух частях. Часть 1 — задания 1–19 с кратким ответом, по 1 баллу: первые пять — практические задачи к одному тексту. Часть 2 — задания 20–25 с полным решением, по 2 балла. Максимум — 31 первичный балл, на экзамен отводится 235 минут.

Часть 1 проверяется сразу по ключу, график задания 22 — по эталону. Решения 20, 21, 23–25 можно отдать ИИ-эксперту: он выставит баллы по критериям ФИПИ и объяснит, где балл потерян. Сразу после сдачи по каждому заданию части 2 открываются эталонное решение и критерии. Отметка зависит и от геометрии: меньше 2 баллов за задания 15–19 и 23–25 — «2».

ОГЭ по математике 2027 — вариант 1

235 минут · 25 заданий · проверить ответы онлайн: https://egesto.ru/math-oge/varianty/1

Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде равной ей десятичной дроби.

При выполнении заданий 20–25 требуется записать решение и ответ.

Часть 1

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м. Помещения квартиры обозначены на плане цифрами от 1 до 7, двери показаны створкой и пунктирной дугой.

Входная дверь ведёт в коридор, вытянутый вдоль квартиры. Из левой части коридора можно попасть в санузел и в кладовую; кладовая — самое маленькое помещение квартиры. В правом конце коридора — дверь на кухню. Кроме того, из коридора можно пройти в спальню и в гостиную. Гостиная — самое большое по площади помещение квартиры. Из спальни и из гостиной есть выход на застеклённую лоджию.

Хозяева квартиры собираются сделать ремонт: заменить покрытие пола и купить новую бытовую технику.

1. Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

А) кухня

Б) спальня

В) санузел

Г) кладовая

В таблице под каждой буквой укажите цифру, которой помещение обозначено на плане.

	А	Б	В	Г
Ответ:

2. Пол санузла решили выложить плиткой размером 20 см × 20 см. Плитка продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плитки нужно купить, чтобы выложить весь пол санузла?

Упаковки продаются только целиком.

Ответ:

3. Найдите площадь кухни.

Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:

4. На сколько процентов площадь гостиной больше площади спальни?

Ответ:

5. Хозяева решили купить стиральную машину. Одна и та же модель продаётся в трёх магазинах; цены, стоимость доставки и подключения и дополнительные условия приведены в таблице. Машину нужно доставить и подключить. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый вариант покупки вместе с доставкой и подключением?

Магазин	Цена машины (руб.)	Доставка (руб.)	Подключение (руб.)	Дополнительные условия
А	28 400	600	1 400	Доставка бесплатно, если цена машины больше 28 000 руб.
Б	27 300	900	1 800	Скидка 50 % на подключение
В	26 900	1 100	2 200	Подключение бесплатно, если цена машины больше 30 000 руб.

Ответ дайте в рублях.

Ответ:

6. Найдите значение выражения 720 + 38.

Ответ:

7. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих неравенств верно?

1) a − b > 0
2) ab > 0
3) a + b > 0
4) b − a < 0

Ответ:

8. Найдите значение выражения √14 · √42√3.

Ответ:

9. Решите уравнение 6x² = −27x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ:

10. Фабрика выпускает термосы. В среднем из 300 термосов, поступивших в продажу, 18 плохо держат температуру. Найдите вероятность того, что купленный термос будет хорошо держать температуру.

Ответ:

11. На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

А)

Б)

В)

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

	А	Б	В
Ответ:

12. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8 · t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Какой температуре по шкале Цельсия соответствует −22 градуса по шкале Фаренгейта?

Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

13. Укажите решение неравенства x² + 4x − 21 ≥ 0.

Ответ:

14. В летнем кинотеатре 12 рядов. В первом ряду 18 кресел, а в каждом следующем ряду на 3 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько всего кресел в этом кинотеатре?

Ответ:

15. В треугольнике ABC известно, что AC = 14, BC = 10, sin∠ACB = 35. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ:

16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 38°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC.

Ответ дайте в градусах.

Ответ:

17. В ромбе ABCD угол ABC равен 64°. Найдите угол ACD.

Ответ дайте в градусах.

Ответ:

18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Ответ:

19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Около каждого ромба можно описать окружность.
2) Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
3) Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны, является параллелограммом.

В ответ запишите номер истинного высказывания.

Ответ:

Часть 2

Запишите сначала номер задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.

20. Решите уравнение 2x³ − x² = 18x − 9.

Решение:

21. Катер вышел из посёлка вверх по реке и прошёл 40 км до турбазы, а затем, не задерживаясь, развернулся и прошёл вниз по течению 24 км до пристани. На весь путь катер затратил 7 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

22. Постройте график функции y = x² − 4|x| − 2x + 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

23. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Найдите катет AC, если CH = 60, BC = 65.

Решение:

24. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K, а биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке M. Докажите, что четырёхугольник ABKM — ромб.

Решение:

25. Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если AB = 15, BC = 41, AC = 52.

Решение:

Справочные материалы

Алгебра

Формула корней квадратного уравнения

x = −b ± √D2a, где D = b² − 4ac

Если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет два корня x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂);
если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет единственный корень x₀, то ax² + bx + c = a(x − x₀)².

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c

x₀ = −b2a

Формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)

Свойства арифметического квадратного корня

√ab = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0
√ab = √a√b при a ≥ 0, b > 0

Свойства степени

при a > 0, b > 0

a⁻ⁿ = 1aⁿ
aⁿ · a^m = a^n+m
aⁿa^m = a^n−m
(aⁿ)^m = a^nm
(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии (a_n), первый член которой равен a₁ и разность равна d

a_n = a₁ + d(n − 1)

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

S_n = (a₁ + a_n)n2

Формула n-го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, а знаменатель равен q

b_n = b₁ · q^{n − 1}

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

S_n = (qⁿ − 1)b₁q − 1

Таблица квадратов

Таблица квадратов двузначных чисел
Десятки \ единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Геометрия

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).

Средняя линия треугольника и трапеции

Треугольник ABC: MN — средняя линия, MN ∥ AC, MN = AC2
Трапеция ABCD, BC ∥ AD: MN — средняя линия, MN ∥ AD, MN = BC + AD2

Описанная и вписанная окружности правильного треугольника

a — сторона треугольника

Радиус описанной окружности: R = a√33
Радиус вписанной окружности: r = a√36
Высота: h = a√32
Площадь: S = a²√34

Для треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a

asin A = bsin B = csin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.
c² = a² + b² − 2ab cos C.

Длина окружности C = 2πr
Площадь круга S = πr²

Площади фигур

Параллелограмм

S = ah_a
S = ab sin γ

Треугольник

S = 12ah_a
S = 12ab sin γ

Трапеция

S = a + b2 · h

Ромб

d₁, d₂ — диагонали

S = 12d₁d₂

Прямоугольный треугольник

a, b — катеты, c — гипотенуза, α — угол против катета a

sin α = ac
cos α = bc
tg α = ab

Теорема Пифагора: a² + b² = c².

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Некоторые значения тригонометрических функций
α, градусы	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	0	12	√22	√32	1	0	−1	0
cos α	1	√32	√22	12	0	−1	0	1
tg α	0	√33	1	√3	—	0	—	0